משפט אגורוף

כישלון משפט אגורוף במרחב מידה אינסופי

נתבונן במרחב ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}},\lambda )}$ כאשר ${\displaystyle \lambda }$ היא מידת לבג. מידתו של מרחב זה היא אינסופית (למעשה היא אף סיגמא־סופית). ניתן לראות כי סדרת הפונקציות המציינות ${\displaystyle f_{n}(x)=1_{[n,n+1]}(x)}$ מתכנסת נקודתית לפונקציה הגבולית אפס, אך אינה מתכנסת במידה שווה על אף תת-קבוצה ממידה אינסופית של הממשיים.

הוכחה

נסמן ${\displaystyle E_{n,k}=\bigcup _{j=n}^{\infty }{\Big \{}x\in X:{\bigl |}f_{j}(x)-f(x){\bigr |}\geq k^{-1}{\Big \}}}$ . נשים לב כי ${\displaystyle x\in E_{n,k}^{c}}$ אם ורק אם לכל ${\displaystyle j\geq n}$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f_{j}(x)-f(x){\bigr |}<k^{-1}}$ .

המשמעות של ההתכנסות ${\displaystyle f_{n}\to f}$ כמעט תמיד היא שמתקיים ${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n,k}\right)=0}$ , ומההנחה כי המרחב סופי נובע שניתן להשתמש ברציפות המידה ולהסיק כי ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (E_{n,k})=\mu \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n,k}\right)=0}$ .

כעת בהינתן ${\displaystyle \varepsilon >0}$ , לכל ${\displaystyle k}$ נבחר ${\displaystyle n_{k}}$ גדול מספיק שעבורו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mu (E_{n_{k},k})<{\frac {\varepsilon }{2^{k}}}} . נגדיר עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle E=\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{n_{k},k}} ונקבל כי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mu (E)=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_{n_{k},k})<\varepsilon } .

ברור מהגדרת ${\displaystyle E}$ שלכל ${\displaystyle x\in E^{c}}$ מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f_{j}(x)-f(x){\bigr |}<k^{-1}}$ , כאשר ${\displaystyle j}$ אינו תלוי ב־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , ולכן על ${\displaystyle E^{c}}$ ההתכנסות היא במידה שווה.