משפט בורסוק-אולם

בטופולוגיה, משפט בורסוק-אוּלַם הוא משפט מתמטי הקובע שכל פונקציה רציפה מהספירה ה-n ממדית למרחב האוקלידי ה-n ממדי מעתיקה שתי נקודות אנטיפודיות כלשהן לאותה נקודה. למשפט אינספור שימושים בטופולוגיה וגם בתחומים שנדמים לא קשורים, כגון בקומבינטוריקה ובמדעי המחשב.

הוכחה ראשונה של המשפט פורסמה ב-1933 על ידי המתמטיקאי הפולני קרול בורסוק. במאמרו ציין בורסוק שסטניסלב אולם שיער את המשפט.

הדגמה והמחשה

ישנן שתי דרכים נפוצות להמחיש את המשפט במקרה הדו-ממדי (n=2). דרך אחת היא לקחת כדור ים, להוציא ממנו את האוויר, למעוכו, לעוותו ולשטחו על הרצפה. משפט בורסוק-אולם קובע שהיו שתי נקודות מנוגדות זו לזו (אנטיפודיות) על הכדור המנופח שכעת נמצאות זו על גבי זו על הרצפה. דרך שנייה להמחיש את המשפט היא לומר שבכל רגע נתון יש על פני כדור הארץ שתי נקודות אנטיפודיות שיש בהן אותה טמפרטורה ואותו לחץ אוויר. זאת בהנחה שטמפרטורה ולחץ אוויר משתנים באופן רציף על פני הכדור.

קל להשתכנע בנכונות המקרה האפס-ממדי והמקרה החד-ממדי. במקרה האפס-ממדי המשפט טוען שפונקציה רציפה מהקבוצה ${\displaystyle \{-1,1\}}$ לקבוצה ${\displaystyle \{0\}}$ מעבירה נקודות אנטיפודיות לאותה נקודה. במקרה הזה זה נכון באופן טריוויאלי גם ללא דרישת הרציפות. במקרה החד-ממדי המשפט טוען שפונקציה רציפה ממעגל (שאפשר להניח ללא הגבלת הכלליות שהוא מעגל היחידה) לישר הממשי מעתיקה זוג נקודות אנטיפודיות לאותו מספר. אם נניח בשלילה ש-${\displaystyle f}$ היא פונקציה רציפה שסותרת את המשפט, אז לכל זוג נקודות אנטיפודיות ${\displaystyle x,-x}$ מתקיים ${\displaystyle f(x)-f(-x)\neq 0}$. לכן הפונקציה ${\displaystyle g(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{|f(x)-f(-x)|}}}$ רציפה. אולם פונקציה זו יכולה לקבל רק את הערכים ${\displaystyle \pm 1}$ והיא מקבלת את שניהם בכל זוגות נקודות אנטיפודיות (${\displaystyle g(-x)=-g(x)}$), בסתירה למשפט ערך הביניים.

גרסאות המשפט

למשפט בורסוק-אולם גרסאות רבות שכולן נכונות וכולן שקולות זו לזו. נביא כמה מהן:

1. לכל ${\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ רציפה קיימת נקודה ${\displaystyle x\in S^{n}}$ כך ש-${\displaystyle f(x)=f(-x)}$.
2. לכל ${\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ אנטיפודית (ראו מסגרת בצד שמאל) קיימת נקודה ${\displaystyle x\in S^{n}}$ כך ש-${\displaystyle f(x)=0}$.
3. לא קיימת ${\displaystyle f:S^{n}\to S^{n-1}}$ אנטיפודית.
4. לא קיימת ${\displaystyle f:B^{n}\to S^{n-1}}$ אנטיפודית על השפה ${\displaystyle S^{n-1}=\partial B^{n}}$.
5. משפט לוסטרניק-שנירלמן: כל כיסוי של ${\displaystyle S^{n}}$ באמצעות n+1 קבוצות שכל אחת מהן פתוחה או סגורה מכיל קבוצה אחת שיש בה זוג נקודות אנטיפודיות.

נוכיח כי כל הגרסאות שקולות:

• (1) גורר את (2): תהי ${\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ פונקציה אנטיפודית. לפי (1) והאנטיפודיות קיימת נקודה ${\displaystyle x\in S^{n}}$ כך ש-${\displaystyle f(x)=f(-x)=-f(x)}$, ולכן ${\displaystyle f(x)=0}$.

• (2) גורר את (1): תהי ${\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ פונקציה רציפה. נגדיר ${\displaystyle g(x)=f(x)-f(-x)}$. זוהי פונקציה אנטיפודית ולכן לפי (2) קיימת נקודה ${\displaystyle x\in S^{n}}$ כך ש-${\displaystyle g(x)=0}$, כלומר ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$.

• (2) גורר את (3): ${\displaystyle S^{n-1}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, ולכן אם קיימת ${\displaystyle f:S^{n}\to S^{n-1}}$ אנטיפודית, אז היא בפרט פונקציה אנטיפודית עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} שאינה מתאפסת, בסתירה ל-(2).

• (3) גורר את (2): נניח בשלילה ש-${\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ אנטיפודית ולא מתאפסת. אז ${\displaystyle g(x)=f(x)/\|f(x)\|}$ סותרת את (3).

• (3) גורר את (4): הפונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle h(x_{0},\ldots ,x_{n})=(x,_{1},\ldots ,x_{n})} היא הומאומורפיזם של ההמיספרה הימנית של ${\displaystyle S^{n}}$ על הכדור ${\displaystyle B^{n}}$ ("שיטוח" של ההמיספרה על מישור). נניח בשלילה ש-${\displaystyle f}$ מקיימת את (4). נגדיר: ${\displaystyle g:S^{n}\to S^{n-1}}$ כך: בהמיספרה הימנית ${\displaystyle g(x)=f(h(x))}$ ובהמיספרה השמאלית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x)=-f(h(-x))} . הפונקציה מוגדרת היטב בחיתוך בין ההמיספרות ("קו המשווה") כי זהו שפת ${\displaystyle B^{n}}$ שם ${\displaystyle f}$ אנטיפודית. עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} סותרת את (3).

• (4) גורר את (3): נניח בשלילה ש-${\displaystyle f}$ מקיימת את (3). אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x)=f(h^{-1}(x))} סותרת את (4).

• שקילות עם (5): ראו בערך משפט לוסטרניק-שנירלמן.

הוכחות

ידועות הוכחות רבות למשפט בורסוק-אולם. ההוכחה הסטנדרטית עושה שימוש בהומולוגיה. ידועות גם הוכחות קומבינטוריות, למשל באמצעות הלמה של טאקר השקולה למשפט בורסוק-אולם.

שימושים

הוכחה של משפט נקודת השבת של בראואר: אם ל-${\displaystyle f}$ לא הייתה נקודת שבת הפונקציה ${\displaystyle F}$ הייתה מוגדרת היטב וסותרת את משפט בורסוק-אולם.

מסקנה מיידית מהמשפט היא שהספירה ה-n-ממדית אינה הומאומרפית לתת-מרחב של המרחב האוקלידי ה-n ממדי.

משפט נקודת השבת של בראואר, הקובע שלכל פונקציה רציפה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: B^n \to B^n} יש נקודת שבת, נובע בקלות ממשפט בורסוק-אולם. נניח בשלילה של-${\displaystyle f}$ אין נקודת שבת. אז לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in B^n} הקרן היוצאת מ-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} לכיוון עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} מוגדרת היטב. נסמן ב-${\displaystyle F(x)}$ את הנקודה על שפת הכדור ${\displaystyle S^{n-1}=\partial B^{n}}$ דרכה עוברת הקרן. עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F: B^n \to S^{n-1}} היא העתקה רציפה ששומרת על איברי ${\displaystyle \partial B^{n}}$ במקומם (רטרקט) ובפרט אנטיפודית על ${\displaystyle \partial B^{n}}$, בסתירה לגרסה (4) של משפט בורסוק-אולם.

משפט נוסף הנובע ממשפט בורסוק-אולם הוא משפט הכריך (Ham sandwich theorem) הקובע כי ניתן לחצות n מסות במרחב ה-n ממדי לשני חצאים שווי מסה באמצעות על-מישור יחיד. משפט זה מאפשר לפתור את בעיית חלוקת השרשרת בקומבינטוריקה.

ב-1978 הוכיח לסלו לובאס את השערת קנזר בתורת הגרפים באמצעות משפט בורסוק-אולם. הוכחה מפתיעה זו נחשבת להולדתו של תחום הקומבינטוריקה טופולוגית שמנצל כלים טופולוגיים לפתרון בעיות קומבינטוריות.

לקריאה נוספת