משפט לוסטרניק-שנירלמן

המקרה הסגור מתוך בורסוק-אולם

במרחב מטרי, המרחק בין נקודה x לקבוצה A, ${\displaystyle d(x,A)}$, מוגדר כאינפימום של אוסף המרחקים בין x לכל אחת מנקודות A. לפי הגדרת הסגור, אם ${\displaystyle d(x,A)=0}$ אז ${\displaystyle x\in {\bar {A}}}$.

יהי ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n+1}}$ אוסף של n+1 קבוצות סגורות המכסות את ${\displaystyle S^{n}}$. נגדיר פונקציה ${\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ כך:

${\displaystyle f(x)=(d(x,F_{1}),\ldots ,d(x,F_{n}))}$

${\displaystyle f}$ בבירור רציפה ולכן לפי משפט בורסוק-אולם קיים ${\displaystyle x^{*}\in S^{n}}$ כך ש-${\displaystyle f(x^{*})=f(-x^{*})}$. בפרט אם קיים ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ כך ש-${\displaystyle d(x^{*},F_{i})=0}$ אז גם ${\displaystyle d(-x^{*},F_{i})=0}$. אולם ${\displaystyle F_{i}}$ סגורה ושווה לסגור שלה, ולכן במקרה כזה ${\displaystyle x^{*},-x^{*}}$ הן זוג נקודות אנטיפודיות הנמצאות ב-${\displaystyle F_{i}}$.

נותר המקרה בו ${\displaystyle d(x^{*},F_{i})=d(-x^{*},F_{i})\neq 0}$ לכל ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$. במקרה כזה ${\displaystyle x^{*},-x^{*}}$ לא נמצאות באף אחת מן הקבוצות ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}}$ (כי מרחקן מכל אחת מהן חיובי) ולכן הן חייבות להימצא יחדיו ב-${\displaystyle F_{n+1}}$.

המקרה הפתוח מתוך המקרה הסגור

יהי ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n+1}}$ אוסף של n+1 קבוצות פתוחות המכסות את ${\displaystyle S^{n}}$. לכל ${\displaystyle 1\leq i\leq n+1}$ ולכל ${\displaystyle x\in U_{i}}$ נבחר סביבה פתוחה קטנה מספיק ${\displaystyle V_{x}}$ כך ש-${\displaystyle x\in V_{x}^{i}\subseteq {\bar {V_{x}^{i}}}\subseteq U_{i}}$. איחוד כל הסביבות ${\displaystyle V_{x}^{i}}$ לכל ה-x וה-i הוא כיסוי פתוח של ${\displaystyle S^{n}}$. הספירה היא קבוצה קומפקטית ולכן יש לכיסוי תת-כיסוי סופי ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{m}}$. נאחד את כל הקבוצות ${\displaystyle {\bar {V_{j}}}}$ המוכלות באותה קבוצה ${\displaystyle U_{i}}$. זהו איחוד סופי של קבוצות סגורות ולכן לכל i נקבל קבוצה סגורה ${\displaystyle F_{i}\subseteq U_{i}}$. קיבלנו כיסוי ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n+1}}$ של הספירה, ולכן לפי המקרה הסגור קיימים ${\displaystyle l}$ ונקודה ${\displaystyle x^{*}\in S^{n}}$ כך ש-${\displaystyle x^{*},-x^{*}\in F_{l}\subseteq U_{l}}$ כפי שרצינו להוכיח.

המקרה הכללי מתוך המקרה הפתוח

יהי ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n+1}}$ אוסף של n+1 קבוצות סגורות או פתוחות המכסות את ${\displaystyle S^{n}}$. לכל ${\displaystyle A_{i}}$ סגורה נגדיר ${\displaystyle U_{i}^{k}=\{x\in S^{n}\mid d(x,A_{i})<{\tfrac {1}{k}}\}}$. ולכל ${\displaystyle A_{i}}$ פתוחה נגדיר עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle U_{i}^{k}=A_{i}} . לכל k, ${\displaystyle U_{1}^{k},\ldots ,U_{n+1}^{k}}$ כיסוי פתוח של ${\displaystyle S^{n}}$, ולכן לפי הגרסה הפתוחה קיימים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle l_{k}} וזוג נקודות ${\displaystyle x_{k},-x_{k}\in U_{l_{k}}^{k}}$. אם ל-k כלשהו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle A_{l_{k}}} פתוחה סיימנו, כי ${\displaystyle x_{k},-x_{k}\in U_{l_{k}}^{k}=A_{l_{k}}}$. לכן נניח שלכל k עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle A_{l_{k}}} סגורה. הסדרה ${\displaystyle \{l_{k}\}}$ היא סדרה אינסופית שמקבלת מספר סופי של ערכים (שלמים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 1\leq l_{k}\leq n+1} ) ולכן יש מספר ${\displaystyle l}$ שמופיע בה אינסוף פעמים. נסתכל על תת-סדרה מתכנסת של הסדרה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_k)_k} שאיבריה מקיימים ${\displaystyle l_{k}=l}$. נסמן את גבולה ${\displaystyle x^{*}}$. מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(x^*,A_l) = \lim_{k \to \infty} d(x_k,A_{l_k})=0} . ולכן, מכיוון שהנחנו ש-${\displaystyle A_{l}}$ סגורה, מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x^{*}\in A_{l}} . מאותה סיבה מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -x^* \in A_l } .

בורסוק-אולם מתוך המקרה הסגור

למה. ניתן לכסות את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^{n-1}} באמצעות n+1 קבוצות סגורות שלא מכילות אנטיפודים.

הוכחה. נמקם סימפלקס במרחב ה-n ממדי כך שהראשית נמצאת במרכז הסימפלקס. כעת נטיל את n+1 פאות הסימפלקס על הספירה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^{n-1}} באמצעות קרניים שיוצאות מהראשית. קל לראות שתמונת הפאות הן הקבוצות הסגורות הנדרשות.

הוכחת בורסוק-אולם. נניח בשלילה שקיימת פונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: S^n\to \mathbb{R}^n} כך שלכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in S^n} מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)\ne f(-x)} . אזי הפונקציה ${\displaystyle g:S^{n}\to S^{n-1}}$ המוגדרת לפי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{\|f(x)-f(-x)\|}} מוגדרת היטב (כי המכנה לא מתאפס) ורציפה. נשים לב כי לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in S^n} מתקיים ${\displaystyle g(x)=-g(-x)}$.

יהי ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n+1}}$ כיסוי של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^{n-1}} באמצעות קבוצות סגורות שלא מכילות אנטיפודים. ${\displaystyle g^{-1}(F_{1})\ldots ,g^{-1}(F_{n+1})}$ הוא כיסוי של ${\displaystyle S^{n}}$ באמצעות קבוצות סגורות, ולכן לפי משפט לוסטרניק-שנירלמן קיימים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^*,-x^*\in g^{-1}(F_l)} . אולם אז ${\displaystyle g(x^{*})\in f^{-1}(F_{l})}$ וגם ${\displaystyle -g(x^{*})=g(-x^{*})\in f^{-1}(F_{l})}$ בסתירה לטענה ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_l} אינה מכילה אנטיפודים.