משפט ברירת זמן העצירה

קובץ:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

בתורת ההסתברות, משפט ברירת זמן העצירה (באנגלית: Optional Stopping Time Theorem) של ג'וזף דוּבּ, מתאר עיקרון יסודי לגבי תוחלת של מרטינגל, בו עצירת המרטינגל קבועה מראש לפי כלל עצירה כלשהו. המשפט קובע שבתנאים מסוימים, כלל העצירה אינו יכול להגדיל את התוחלת.

באופן מוחשי יותר, משפט זה עוסק בתוחלת הרווח של סדרת הימורים, בהם המהמר יכול לעצור בכל שלב לפי כלל שהוא קובע מראש. למשל, המהמר יכול להחליט שהוא יעזוב עם הכסף שבידיו ברגע שהרווח שלו מגיע לסכום כלשהו שנקבע מראש. המשפט סותר כשל מחשבתי רווח, וקובע שאם מהמר נכנס לקזינו עם סכום מסוים, אז תוחלת הרווח שלו תחת כל כלל עצירה - היא בדיוק הסכום אתו הוא נכנס לקזינו. זהו הנימוק המתמטי לכשל הטמון בשיטת ההימורים המכונה "מרטינגל".

זמן עצירה

ערך מורחב – זמן עצירה

יהי $\left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)$ מרחב הסתברות, ויהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{ M_n \right\}_{n=1}^{\infty}} מרטינגל במרחב זה. נגדיר לכל $n\in \mathbb {N}$ את התת-סיגמא אלגברה,

F_{n}=\sigma \left(M_{1},...,M_{n}\right)\subset {\mathcal {F}}

ונאמר כי משתנה מקרי $\tau :\Omega \to \mathbb {N} \cup {\infty }$ הוא זמן עצירה, אם $\left\{\tau =n\right\}\in F_{n}$ לכל $n\in \mathbb {N}$ . כלומר, המאורע $\left\{\tau =n\right\}$ , נקבע במלואו לפי המידע שבידינו בשלב ה- $n$ .

נוסח המשפט

לכל זמן עצירה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} , מתקיים כי $M_{\tau }$ הוא משתנה מקרי בהסתברות 1. כמו כן, מתקיים עבור תוחלתו,

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{E} \left[ M_\tau \right] = \mathbf{E} \left[ M_0 \right]}

בתנאי שמתקיים לפחות אחד משלושת התנאים הבאים:

קיים קבוע עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C \in \mathbb{R}} שעבורו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau \leq C} בהסתברות 1.
$\tau <\infty$ בהסתברות 1, וגם קיים קבוע עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C \in \mathbb{R}} שעבורו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left| M_n \right| \leq C} בהסתברות 1 לכל $n\leq \tau$ .
$\mathbf {E} \left[\tau \right]<\infty$ , וגם קיים קבוע עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C \in \mathbb{R}} שעבורו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left| M_{n+1} - M_n \right| < C} בהסתברות 1 לכל $n\leq \tau$ .

הוכחה

טענה: אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{ M_n \right\}_{n=1}^{\infty}} מרטינגל, אזי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{E} \left[ M_n \right] = \mathbf{E} \left[ M_0 \right]} לכל $n\in \mathbb {N}$ .

טענה: יהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{ M_n \right\}_{n=1}^{\infty}} מרטינגל ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} זמן עצירה כלשהו. נגדיר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_n := M_{\min(\tau,n)}} לכל $n\in \mathbb {N}$ . אזי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{ X_n \right\}_{n=1}^{\infty}} הוא מרטינגל.

נשתמש בטענות אלה כדי להוכיח את המשפט עבור שלושת התנאים:

נשים לב כי בהתקיים תנאי 1, אז בהסתברות 1 $X_{C}=M_{\min(\tau ,C)}=M_{\tau }$ , ולכן נובע מהטענות שהזכרנו כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{E} [ M_{\tau} ] = \mathbf{E} [ X_C ] = \mathbf{E} [X_0 ] = \mathbf{E} [M_0]} .
נשים לב כי בהתקיים תנאי 2, אז בהסתברות 1 עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} M_{\min(\tau, n)} = M_{\tau}} . לכן ממשפט ההתכנסות החסומה נובע כי, עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbf {E} [M_{0}]=\mathbf {E} [M_{\min(\tau ,n)}]\to \mathbf {E} [M_{\tau }]{\text{ as }}n\to \infty }
נשים לב כי בהתקיים תנאי 3, אז בהסתברות 1 מתקיים לכל $n\in \mathbb {N}$ , $\left|M_{n}\right|=\left|M_{0}+\sum _{k=1}^{n}\left(M_{k}-M_{k-1}\right)\right|\leq \left|M_{0}\right|+\sum _{k=1}^{n}\left|M_{k}-M_{k-1}\right|\leq \left|M_{0}\right|+n\cdot C$ ולכן בפרט, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left| X_{\min(\tau, n)} \right| \leq \left| X_0 \right| + \min(\tau, n) \cdot C \leq \left| X_0 \right| + \tau \cdot C} נשים לב כי צד ימין של אי השוויון הוא משתנה מקרי בעל תוחלת, ולכן ממשפט ההתכנסות הנשלטת נובע כי, עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbf {E} [M_{0}]=\mathbf {E} [M_{\min(\tau ,n)}]\to \mathbf {E} [M_{\tau }]{\text{ as }}n\to \infty }

שימוש

ממשפט זה ניתן להסיק למשל שהילוך מקרי פשוט על $\mathbb {Z}$ הוא נשנה, באופן הבא:

נניח כי ההילוך הוא $\left\{S_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ ומתחיל בנקודה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_0 = 1} . נרצה להראות כי בהסתברות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} ההילוך יגיע לנקודה $0$ תוך זמן סופי.

לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k \in \mathbb{Z}} נגדיר זמן עצירה מתאים לו, על ידי $\tau _{k}=\inf \left\{n\in \mathbb {N} \mid S_{n}=k\right\}$ . עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k>0} שלם כלשהו, נחשב את ההסתברות שההילוך המקרי יפגע ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} לפני שיפגע ב- $0$ . לשם כך נגדיר זמן עצירה חדש עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau = \min \left\{ \tau_0, \tau_k \right\}} , ונשים לב כי מהמשפט נובע שמתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{E} \left[ S_\tau \right] = \mathbf{E} \left[ S_0 \right] = 1} .

מצד שני, על ידי חישוב ישיר של התוחלת,

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{E} \left[ S_\tau \right] = 0\cdot \mathbb{P} \left( \tau_0 \leq \tau_k\right) + k\cdot \mathbb{P}\left( \tau_k < \tau_0 \right) = k\cdot\mathbb{P}\left( \tau_k < \tau_0 \right)}

ולכן נובע בסך הכל,

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{P} \left( \tau_0 < \tau_k \right) = \frac{1}{k}}

מכאן נובע כי לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k>0} ,

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{P} \left( \tau_0 < \infty \right) \geq \mathbb{P} \left( \tau < \infty \right) - \mathbb{P} \left( \tau_k < \tau_0 \right) = 1-\frac{1}{k}}

ולכן בהכרח עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{P} \left( \tau_0 < \infty \right) = 1} , כלומר ההילוך נשנה.

ראו גם

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רישיון cc-by-sa 3.0

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.