משפט דיני

משפט דיני הוא משפט מתמטי בתחום האנליזה המתמטית, העוסק בהתכנסות נקודתית של סדרה מונוטונית של פונקציות, או של טור פונקציות אי־שליליות.

המשפט נקרא על שם המתמטיקאי והפוליטיקאי האיטלקי אוליסה דיני (1845–1918). משפט זה הוא דוגמה טובה למקרה בו התכנסות נקודתית, תכונה חלשה יחסית, גוררת התכנסות במידה שווה, שהיא תכונה חזקה הרבה יותר. התכונה נגררת עקב המונוטוניות של סדרת הפונקציות.

ניסוח המשפט

• עבור סדרת פונקציות:

תהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{f_n\}\to f} סדרה מונוטונית של פונקציות (כלומר, לכל ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall x\in X:f_n(x)\le f_{n+1}(x)} או עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall x\in X:f_n(x)\ge f_{n+1}(x)} ) המוגדרות בקטע סגור ${\displaystyle X}$, רציפות המתכנסות נקודתית ל־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} , שגם היא רציפה בקטע. אזי ההתכנסות היא במידה שווה.

• עבור טורי פונקציות:

תהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_n(x)\ge0} סדרת פונקציות רציפות אי־שליליות, והטור ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f_{n}(x)}$ מתכנס נקודתית לסכום עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S(x)} שגם הוא פונקציה רציפה, אז ההתכנסות היא במידה שווה.

יש לשים לב כי דרישת הרציפות של הפונקציות וכן של פונקציית הגבול, הכרחית. על מנת להדגים את הכרחיות הדרישה כי פונקציית הגבול תהיה רציפה, ניתן להסתכל על סדרת הפונקציות עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}} בקטע ${\displaystyle [0,1]}$ . בסדרה זו מתקיים ${\displaystyle \forall x<1:\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0}$, אך בנקודת הקצה הגבול הוא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}f_n(1)=1} ולכן פונקציית הגבול אינה רציפה, וקל לראות שההתכנסות איננה התכנסות במידה שווה.

הוכחה

נניח ללא הגבלת הכלליות כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_n(x)\le f_{n+1}(x)} .

יהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon>0} . נגדיר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_n(x)=f(x)-f_n(x)} ותהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_n=\bigl\{x\in X:|g_n(x)|<\varepsilon\bigr\}} . הפונקציה ${\displaystyle g_{n}}$ רציפה ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_n} קבוצה פתוחה. ${\displaystyle f_{n}}$ מונוטונית עולה ולכן ${\displaystyle g_{n}}$ מונוטונית יורדת והסדרה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_n} גדלה. מההתכנסות הנקודתית של ${\displaystyle f_{n}}$ נובע כי האיחוד ${\displaystyle \bigcup _{k=1}^{n}E_{k}}$ הוא כיסוי פתוח ל־${\displaystyle X}$. עבור קבוצה קומפקטית (סגורה וחסומה) קיים תת־כיסוי סופי, ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \max E_n} גם הוא כיסוי. כלומר קיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} עבורו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_N=X} ולכל ${\displaystyle n>N}$ מתקיים ${\displaystyle |g_{n}(x)|<\varepsilon }$.