משפט חוצה הזווית

בגאומטריה, משפט חוצה הזווית קובע כי חוצה זווית במשולש (פנימית או חיצונית) מחלק את הצלע בה הוא פוגע (או המשכה) ביחס שווה ליחס בין שוקי הזווית.

בתמונה בצד, ${\displaystyle AD}$ חוצה זווית ${\displaystyle \sphericalangle A}$ וחותך את ${\displaystyle BC}$ ב-${\displaystyle D}$ , ולכן ${\displaystyle {\frac {AB}{AC}}={\frac {BD}{CD}}}$ .

המשפט מכליל את הטענה שחוצה זווית במשולש שווה-שוקיים הוא תיכון.

המשפט ההפוך נכון גם הוא: אם ישר יוצא מקודקוד משולש לעבר הצלע ממול ומחלק אותה ביחס שווה ליחס בין הצלעות, אז אותו ישר הוא חוצה זווית.

הוכחה

הוכחת המשפט

נסמן את שני חלקי הזווית החצויה:

${\displaystyle \sphericalangle BAD=\sphericalangle CAD=\alpha }$

נסמן נקודה ${\displaystyle E}$ על ${\displaystyle AC}$ (או על המשכה), כאשר ${\displaystyle BE\|AD}$ .

על פי משפט תאלס נקבל ${\displaystyle {\frac {AE}{AC}}={\frac {BD}{CD}}}$ .

${\displaystyle BE\|AD}$ , לכן נקבל

1. ${\displaystyle \sphericalangle AEB=\alpha }$ (זוויות מתאימות בין מקבילים שוות זו לזו)
2. ${\displaystyle \sphericalangle ABE=\alpha }$ (זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו)

מכאן ${\displaystyle \triangle ABE}$ משולש שווה-שוקיים, לכן ${\displaystyle AE=AB}$ .

נציב תוצאה זו ונקבל ${\displaystyle {\frac {AB}{AC}}={\frac {BD}{CD}}}$ .