משפט נקודת השבת של בנך

משפט נקודת השבת של בנך הוא משפט חשוב באנליזה מתמטית ובתאוריה של מרחבים מטריים. הוא נותן תנאי מספיק לקיומה של נקודת שבת עבור פונקציות מסוימות, וכן מספק דרך קונסטרוקטיבית למצוא נקודה זו באמצעות הפעלה חוזרת ונשנית של הפונקציה. המשפט נקרא על שם סטפן בנך, שניסח אותו לראשונה בשנת 1922.

ניסוח המשפט

אם ${\displaystyle (X,d)}$ הוא מרחב מטרי שלם והפונקציה ${\displaystyle f:X\to X}$ היא העתקה מכווצת (כלומר, קיים ${\displaystyle q<1}$ עבורו ${\displaystyle d{\bigl (}f(x_{1}),f(x_{2}){\bigr )}\leq q\cdot d(x_{1},x_{2})}$ לכל ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$), אז קיימת נקודת שבת אחת ויחידה ${\displaystyle x^{*}\in X}$ (זוהי נקודה המקיימת ${\displaystyle f(x^{*})=x^{*}}$).

למשל במקרה ש-${\displaystyle X}$ הוא הישר הממשי נקבל שאם קיים קבוע ${\displaystyle q<1}$ כך שלכל ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ ממשיים מתקיים ${\displaystyle {\bigl |}f(x_{1})-f(x_{2}){\bigr |}\leq q|x_{1}-x_{2}|}$ , אז למשוואה ${\displaystyle f(x)=x}$ יש פתרון אחד ויחיד.

יתר על כן, נקודה זו יכולה להימצא באופן הבא: אם ${\displaystyle x_{0}\in X}$ היא נקודה כלשהי במרחב ונגדיר סדרה על ידי הפעלות חוזרות ונשנות של ${\displaystyle f}$ בצורה הבאה: ${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$ עבור ${\displaystyle n=0,1,2,3,\ldots }$ , אז סדרה זו מתכנסת אל ${\displaystyle x^{*}}$ . המרחק בין נקודות עוקבות בסדרה קטן בקצב גאומטרי ולכן זו היא סדרת קושי וגבולה הוא הנקודה המבוקשת. ניתן להעריך את קצב ההתכנסות באמצעות אי-השוויון הבא:

$${\displaystyle d(x^{*},x_{n})\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0})}$$

הוכחה

בוחרים ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ומגדירים סדרה ${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$ . לפי תכונת הכיווץ מתקיים

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle d(x_{n+1},x_{n})=d{\bigl (}f(x_{n}),f(x_{n-1}){\bigr )}\leq q\cdot d(x_{n},x_{n-1})}

ומכאן באינדוקציה נובע כי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle d(x_{n+1},x_{n})\leq q^{n}\cdot d(x_{1},x_{0})} .

נקבל שלכל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle n<m} מתקיים:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})\leq d(x_{n+1},x_{n})+\cdots +d(x_{m},x_{m-1})\leq q^{n}\cdot d(x_{1},x_{0})+\cdots +q^{m-1}\cdot d(x_{1},x_{0})\\=q^{n}\cdot d(x_{1},x_{0})(1+q+\cdots +q^{m-n-1})\leq q^{n}\cdot d(x_{1},x_{0})(1+q+q^{2}+\cdots )={\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0})\end{aligned}}}

נקבל כי ל-${\displaystyle n}$ גדול מספיק ולכל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle n<m} , עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle d(x_{m},x_{n})} קטן כרצוננו, ולכן ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ היא סדרת קושי. מכיוון שהמרחב שלם, כל סדרת קושי מתכנסת. נסמן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}} . זוהי נקודת שבת שכן:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f(x^{*})=f{\bigl (}\lim _{n\to \infty }x_{n}{\bigr )}=\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\lim _{n\to \infty }x_{n+1}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=x^{*}}

הסתמכנו על הרציפות במידה שווה של ${\displaystyle f}$ שנובעת מתכונת הכיווץ.

נוכיח את יחידות נקודת השבת. נניח ${\displaystyle x^{*},y^{*}}$ הן נקודות שבת. אז:

${\displaystyle d(x^{*},y^{*})=d{\bigl (}f(x^{*}),f(y^{*}){\bigr )}\leq q\cdot d(x^{*},y^{*})}$

מכיוון ש-${\displaystyle q<1}$ נקבל שבהכרח ${\displaystyle d(x^{*},y^{*})=0}$ , ולכן ${\displaystyle x^{*}=y^{*}}$ .

הערות

• דרישת השלמות היא הכרחית. למשל: נסמן ${\displaystyle X=\mathbb {Q} \cap [1,2]}$ , (אוסף המספרים הרציונליים בקטע עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [1,2]} ). אזי ההעתקה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=x-\frac{x^2-2}{4}} היא העתקה מכווצת מ-${\displaystyle X}$ לעצמו,

אך אין לה נקודת שבת ב-${\displaystyle X}$ , שכן הפתרונות ל-${\displaystyle f(x)=x}$ בין המספרים הממשיים הם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\pm\sqrt2} , ואלו אינם שייכים ל-${\displaystyle X}$ .

• במרחב מטרי קומפקטי, אפשר להחליף את הדרישה לכיווץ "במידה שווה" (${\displaystyle d{\bigl (}f(x_{1}),f(x_{2}){\bigr )}\leq q\cdot d(x_{1},x_{2})}$) בדרישה החלשה יותר ${\displaystyle d{\bigl (}f(x),f(y){\bigr )}<d(x_{1},x_{2})}$ , ועדיין מובטח קיומה של נקודת שבת. ניתן להוכיח זאת באמצעות הגדרת הפונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x)=d\bigl(x,f(x)\bigr)} . פונקציה זו רציפה, ומהיותה רציפה על קטע קומפקטי היא מקבלת מינימום עבור ${\displaystyle x_{0}}$ כלשהי במרחב הקומפקטי. ניתן להראות כי ערך מינימלי זה הוא 0, ועל-כן ${\displaystyle x_{0}}$ היא נקודת שבת. היחידות נובעת מהיותה של הפונקציה מכווצת.
• במרחב מטרי כללי טענה זו אינה נכונה; לדוגמה, הפונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:\R\to\R} המוגדרת על ידי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{2}+x-\arctan(x)} , כאשר ${\displaystyle \arctan :\mathbb {R} \to \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$ , מקיימת את אי-השוויון עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigl|f(x_1)-f(x_2)\bigr|<|x_1-x_2|} , אך אין לה נקודת שבת ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \R} .

שימושים

המשפט משמש להוכחת משפט הקיום והיחידות למשוואות דיפרנציאליות ולהוכחת משפט הפונקציה ההפוכה. המשפט גם שימושי מאוד באנליזה נומרית, להוכחה קונסטרוקטיבית של קיום נקודות שבת של פונקציות איטרטיביות, וכך משיגים קירובים נומריים לשורשים של משוואות.