משפט קיילי-המילטון

משפט קיילי-המילטון (על שם המתמטיקאים ארתור קיילי וויליאם רואן המילטון) הוא משפט באלגברה לינארית, הקובע שכל מטריצה ריבועית A (מעל שדה) מאפסת את הפולינום האופייני שלה עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f(\lambda )=|\lambda I-A|} , כלומר מתקיים ${\displaystyle f(A)=0}$ . בפרט, הפולינום המינימלי של מטריצה מחלק את הפולינום האופייני שלה.

במאמר מ־1858 הראה קיילי שהמשפט נכון עבור מטריצות בגודל ${\displaystyle 2\times 2}$ , והוא מדווח כי בדק את הטענה גם עבור מטריצות בגודל ${\displaystyle 3\times 3}$ ; עם זאת, הוא כותב, "לא מצאתי לנכון לטרוח על הוכחה פורמלית של המשפט עבור מטריצה מכל גודל". מעט אחר־כך גילה המילטון את המשפט עבור מטריצות בגודל 4, במהלך מחקריו על אלגברת הקווטרניונים. את המקרה הכללי הוכיח פרדיננד גאורג פרובניוס ב־1878.

המשפט תקף כאשר מקדמי המטריצה מגיעים מחוג קומוטטיבי כלשהו, ונובע ממנו שכל חוגי המטריצות ${\displaystyle \ \operatorname {M} _{n}(C)}$ הם חוגי זהויות פולינומיות.

הוכחה

ישנן הוכחות רבות למשפט, נציג אחת מהן.

נסמן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^nC_kx^k} . ראשית ידוע כי לכל מטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} מתקיים כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \qquad A\, \mathrm{adj}(A)=\mathrm{adj}(A)\, A = \det(A)\, I} , ולכן עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C = x I - A} מתקיים כי ${\displaystyle f(x)I=|xI-A|I=|C|I=C\mathrm {adj} (C)=(xI-A)\mathrm {adj} (C)=xI\mathrm {adj} (C)-A\mathrm {adj} (A)}$ ומכיוון שאיברי המטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} הם פולינומים ממעלה ראשונה ולכן גם כן איברי ${\displaystyle \mathrm {adj} (C)}$ פולינומים אכן ממעלה גדולה או שווה ל-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-1} . לכן ניתן לכתוב את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{adj}(C)} כפולינום על מקדמים שהם מטריצות, ${\displaystyle \mathrm {adj} (C)=\Sigma _{k=0}^{n}B_{k}x^{k}}$. מכיוון ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)I =xI\mathrm{adj}(C)-A\mathrm{adj}(A)} אז מתקיים כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)I =\Sigma_{k=1}^{n} C_{k} Ix^k } ו- ${\displaystyle {\text{adj}}(C)-A\mathrm {adj} (A)=\Sigma _{k=1}^{n}B_{k-1}-AB_{k}}$ ולכן על ידי השוואת מקדמים לפולינומים זהים נקבל כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C_k I=B_{k-1}-A B_k} אז אם נכפול ב-A נקבל כי ${\displaystyle C_{k}A^{k}=A^{k}B_{k-1}-A^{k-1}B_{k}}$ ולכן על ידי הצבה בפולינום המציין נקבל טור טלסקופי שמתאפס.

מקורות

• אלגברה א', חלק שלישי, 259-262, ש. עמיצור
• אלגברה א', חלק ראשון, 167, ש. עמיצור
• היסטוריה של מטריצות ודטרמיננטות