פולינום אופייני

באלגברה לינארית, מתאימים לכל מטריצה ריבועית פולינום שנקרא הפולינום האופייני, והוא מקודד כמה תכונות חשובות של המטריצה.

אם ${\displaystyle \,A}$ היא מטריצה ריבועית מסדר n, הפולינום האופייני שלה מוגדר כפולינום ${\displaystyle f(\lambda )=\left|\lambda I-A\right|}$, כאשר ${\displaystyle \ I}$ היא מטריצת היחידה ו- ${\displaystyle \ |\,\cdot \,|}$ מסמן את הדטרמיננטה. זהו פולינום שמעלתו שווה לגודל המטריצה, ושורשיו הם הערכים העצמיים שלה.

כשכותבים ${\displaystyle \ f_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}-t_{1}\lambda ^{n-1}+t_{2}\lambda ^{n-2}\pm \dots +(-1)^{n}t_{n}}$, המקדם החופשי של הפולינום האופייני הוא ${\displaystyle \ t_{n}=|A|}$, ואילו ${\displaystyle \ t_{1}}$ שווה לעקבה של ${\displaystyle \,A}$. באופן כללי יותר, מקדמי הפולינום הם פונקציות סימטריות של הערכים העצמיים.

התכונה החשובה ביותר של הפולינום האופייני נתונה במשפט קיילי-המילטון, שלפיו A מאפסת את הפולינום האופייני שלה, כלומר ${\displaystyle \ f_{A}(A)=A^{n}-t_{1}A^{n-1}+\dots +(-1)^{n}t_{n}I=0}$. לכן הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני.

לשתי מטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני, אם כי ההיפך אינו תמיד נכון (אפילו מעל שדה סגור אלגברית).

ראו גם

• מטריצה
• פולינום מינימלי
• ערך עצמי
• דמיון מטריצות
• צורת ז'ורדן