נוסחת ברטשניידר

בגאומטריה אוקלידית, נוסחת ברטשניידר היא נוסחה לחישוב שטח מרובע כלשהו על בסיס צלעותיו וזוויותיו, והיא

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\frac {abcd{\bigl [}1+\cos(\alpha +\gamma ){\bigr ]}}{2}}}}\end{aligned}}}$

כאשר ${\displaystyle a,b,c,d}$ צלעות המרובע, ${\displaystyle s}$ מחצית ההיקף, ${\displaystyle \alpha ,\gamma }$ הן זוויות נגדיות.

הנוסחה נקראת על שם קרל אנטון ברטשניידר, אשר גילה אותה בשנת 1842. נוסחת ברטשניידר היא הכללה של נוסחת בראהמגופטה, המתבססת על נוסחת הרון.

הוכחה

שרטוט להוכחה

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\triangle ADB+\triangle BDC\\&={\frac {ad\sin(\alpha )}{2}}+{\frac {bc\sin(\gamma )}{2}}\end{aligned}}}$

מכאן

${\displaystyle 4S^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}(\alpha )+(bc)^{2}\sin ^{2}(\gamma )+2abcd\sin(\alpha )\sin(\gamma )}$

על פי משפט הקוסינוסים:

${\displaystyle {\begin{aligned}BD^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad\cos(\alpha )=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\gamma )\\{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}(\alpha )+(bc)^{2}\cos ^{2}(\gamma )-2abcd\cos(\alpha )\cos(\gamma )\end{aligned}}}$

נחבר את הנוסחה הזו לנוסחה שלמעלה ונקבל:

${\displaystyle {\begin{aligned}4S^{2}+{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)\end{aligned}}}$

מכאן נשתמש באותה הדרך שבה הוכחה נוסחת ברהמגופטה, נקבל כי:

${\displaystyle {\begin{aligned}16S^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)\\S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}\end{aligned}}}$

כאשר ${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}$ מחצית ההיקף.