נוסחת ההיפוך של מביוס

בקומבינטוריקה, נוסחת ההיפוך של מביוס משמשת, בהינתן פונקציה ${\displaystyle \ F}$ שניתנת לתיאור בתור סכום מסוים על ערכי פונקציה אחרת ${\displaystyle \ f}$, לתאר בצורה ישירה את הפונקציה ${\displaystyle \ f}$ באמצעות סכום של ${\displaystyle \ F}$.

הגרסה הקלאסית

הגרסה ה"קלאסית" של הנוסחה היא כדלהלן: בהינתן שתי פונקציות אריתמטיות ${\displaystyle \ \!\,f,F}$, אם מתקיים ${\displaystyle \ F(n)=\sum _{d\mid n}f(d)}$ לכל ${\displaystyle \!\,n\geq 1}$, אז ניתן להפוך את הנוסחה ולקבל ${\displaystyle \ f(n)=\sum _{d\mid n}F(n/d)\mu (d)}$, כאשר ${\displaystyle \!\,\mu }$ היא פונקציית מביוס.

אם מסמנים ב-${\displaystyle \mathbf {1} }$ את הפונקציה הקבועה שמקיימת ${\displaystyle \mathbf {1} (n)=1}$ לכל n, ומשתמשים בסימון של קונבולוציית דיריכלה, נוסחת מביוס אומרת שבהינתן ${\displaystyle F=f*\mathbf {1} }$, אז ${\displaystyle f=F*\mu }$. כלומר ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ו-${\displaystyle \mu }$ הם איברים הופכיים ביחס לקונבולוציית דיריכלה.

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', נוסחת ההיפוך של מביוס, באתר "לא מדויק"