קונבולוציית דיריכלה

בתורת המספרים, קונבולוציית דיריכלה היא פעולה בינארית בין שתי פונקציות אריתמטיות הדומה לקונבולוציה. הפעולה פותחה על ידי המתמטיקאי הגרמני בן המאה ה-19 יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה.

הגדרה

לכל שתי פונקציות אריתמטיות ${\displaystyle f,g}$ קונבולוציית דיריכלה ${\displaystyle f*g}$ מוגדרת:

${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)}$

כאשר d עובר על כל המחלקים של n. ניתן להגדיר גם ללא פעולת חילוק:

${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{ab\,=\,n}f(a)g(b)}$

כאשר a ו-b הם כל הזוגות של מספרים טבעיים שמכפלתם היא n.

תכונות אלגבריות

קונבולוציית דיריכלה היא פעולה קומוטטיבית ואסוציאטיבית. היא גם דיסטריבוטיבית מעל חיבור פונקציות (${\displaystyle (f+g)(n)=f(n)+g(n)}$).

תכונות אלו הופכות את קבוצת הפונקציות האריתמטיות לחוג קומוטטיבי ביחס לחיבור וקונבולוציית דיריכלה. איבר היחידה בחוג הוא פונקציית היחידה ${\displaystyle \varepsilon }$, המוגדרת ${\displaystyle \varepsilon (1)=1}$ ו-${\displaystyle \varepsilon (n)=0}$ לכל n>1. האיברים ההפיכים בחוג הם אלו המקיימים ${\displaystyle f(1)\neq 0}$. ההופכי של איבר בחוג קרוי הופכי דיריכלה. קיימת נוסחה רקורסיבית להופכי דיריכלה של פונקציה. אם ${\displaystyle g}$ הוא הופכי דיריכלה של ${\displaystyle f}$ אז ל-n=1, ${\displaystyle g(1)={\tfrac {1}{f(1)}}}$. ל-n>1 מתקיים:

${\displaystyle g(n)={\frac {-1}{f(1)}}\sum _{\stackrel {d\,\mid \,n}{d<n}}f\left({\frac {n}{d}}\right)g(d)}$

הקונבולוציה של שתי פונקציות כפליות גם היא כפלית. כל פונקציה כפלית היא הפיכה והופכי דיריכלה שלה גם כן כפלי. הקונבולוציה של שתי פונקציות כפילות במובן החזק אינה בהכרח כפלית במובן החזק.

דוגמאות

מסמנים ${\displaystyle \mathbf {1} }$ את הפונקציה שמחזירה 1 לכל n. לכל פונקציה ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle (f*\mathbf {1} )(n)=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)}$

בפרט:

${\displaystyle d=\mathbf {1} *\mathbf {1} }$

${\displaystyle \sigma =I*\mathbf {1} }$

${\displaystyle I=\phi *\mathbf {1} }$ (הסבר)

משלושת הזהויות הללו נובע (על ידי הפעלת קונבולוציה נוספת עם ${\displaystyle \mathbf {1} }$ בזהות השלישית):

${\displaystyle \sigma =\phi *d}$

פונקציית מביוס היא הופכי דיריכלה של ${\displaystyle \mathbf {1} }$. כלומר ${\displaystyle \mu *\mathbf {1} =\varepsilon }$. מכאן נובעת מיד נוסחת ההיפוך של מביוס. אם,

${\displaystyle F(n)=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)}$

אז,

${\displaystyle f=\varepsilon *f=\mu *\mathbf {1} *f=\mu *F}$

בפרט:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{1} = d*\mu}

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I = \sigma*\mu}

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \phi =I*\mu }

${\displaystyle \varepsilon =\lambda *|\mu |}$

טורי דיריכלה

טור דיריכלה של פונקציה אריתמטית ${\displaystyle f}$ הוא פונקציה מרוכבת במשתנה s המוגדרת:

${\displaystyle D(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

המפורסם מבין טורי דיריכלה הוא פונקציית זטא של רימן:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \zeta(s) = D(\mathbf{1};s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}}

יש קשר הדוק בטורי דיריכלה לקונבולוציית דיריכלה, המתבטא בזהות:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle D(f*g;s)=D(f;s)\cdot D(g;s)}

הזהות אנלוגית למשפט הקונבולוציה שקובע שקונבולוציה רגילה מקיימת זהות דומה עם התמרת פורייה.

על סמך הזהות ניתן לחשב טורי דיריכלה רבים. למשל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D(\mu ;s) = \tfrac{1}{\zeta(s)}} , כי:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle D(\mu ;s)\cdot \zeta (s)=D(\mu *\mathbf {1} ;s)=D(\varepsilon ;s)=1}

דוגמה נוספת:

${\displaystyle D(\phi ;s)=D(I*\mu ;s)=D(I;s)\cdot D(\mu ;s)=\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n^{s}}}\right)\cdot {\frac {1}{\zeta (s)}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}$