נוסחת סטירלינג

עבור ${\displaystyle x}$ גדול, ${\displaystyle \ln(x!)}$ מתקרב ל־${\displaystyle x\ln(x)-x}$

נוסחת סטירלינג (על-שם המתמטיקאי הסקוטי ג'יימס סטירלינג) היא קירוב מתמטי לערך של ${\displaystyle \ n!}$ (במילים: ${\displaystyle \,n}$ עצרת) עבור ערכים גדולים של ${\displaystyle \ n}$ .

$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$$

זוהי נוסחה אסימפטוטית בשימוש בסימון אסימפטוטי, ופירושה שקיים הגבול

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}=1}$$

כתוצאה מכך ${\displaystyle \ln(n!)\approx n{\bigl (}\ln(n)-1{\bigr )}}$ .

בגרסה כללית יותר, הנוסחה נותנת הערכה לפונקציית גמא ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$ המהווה הרחבה של פונקציית העצרת.

משפט: קיימת פונקציה ממשית ${\displaystyle \eta :(0,\infty )\to \mathbb {R} }$ המקיימת ${\displaystyle \Gamma (x)={\sqrt {2\pi }}x^{x-{\frac {1}{2}}}e^{-x}e^{\eta (x)}\qquad 0<\eta (x)<{\frac {1}{12x}}}$ עבור ${\displaystyle n}$-ים גדולים ${\displaystyle e^{\eta (n)}\approx 1}$ ולכן ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\approx {\sqrt {2\pi }}n^{n-{\frac {1}{2}}}e^{-n}}$ . כפל של שני האגפים ב-${\displaystyle n}$ ייתן את הנוסחה ל-${\displaystyle n!}$ .

פיתוח הנוסחה מתבסס על פיתוח אסימפטוטי לטור של האינטגרל המגדיר את פונקציית גמא והפיכתו לאינטגרל של גאוסיאן כפול תיקונים מסדרים שונים.