מטריצה לכסינה

באלגברה לינארית, מטריצה ריבועית היא לכסינה (או: ניתנת ללכסון) אם היא דומה למטריצה אלכסונית, כלומר, אם קיימות מטריצה אלכסונית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} ומטריצה הפיכה , כך ש- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ D = P^{-1} A P} . במקרה כזה, P נקראת מטריצה מלכסנת. מטריצות לכסינות ניתן להעלות בחזקה ולהציב בפולינומים בקלות יחסית. כל מטריצה נורמלית ניתנת ללכסון, אבל ישנן מטריצות שאינן ניתנות ללכסון.

באופן דומה, טרנספורמציה לינארית מהמרחב הווקטורי V אל עצמו היא לכסינה אם קיים בסיס של V, ש-T פועלת על כל רכיביו כמו כפל בסקלר; דהיינו קיימים סקלרים , שעבורם . טרנספורמציה היא לכסינה אם ורק אם קיימת לה מטריצה מייצגת לכסינה; ובמקרה כזה כל מטריצה מייצגת שלה היא לכסינה.

תכונת הלכסינות תלויה בשדה שממנו נלקחות המטריצות P ו-D. ישנן למשל מטריצות ממשיות, שהן לכסינות מעל המרוכבים אבל אינן לכסינות מעל הממשיים.

אפיון בעזרת הפולינום המינימלי

למטריצה אלכסונית, שאלכסונה כולל את המספרים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_1,\dots,a_n} , יש פולינום אופייני עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f_D(t) = (t-a_1)\cdots (t-a_n)} , ופולינום מינימלי השווה למכפלת הגורמים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (t-a_i)} עבור הערכים השונים זה מזה. אם שתי מטריצות דומות זו לזו, אז יש להן אותו פולינום אופייני ופולינום מינימלי.

באופן כללי, מטריצה היא לכסינה אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים, והריבוי האלגברי של כל ערך עצמי שווה לזה של הריבוי הגאומטרי. מכיוון שהריבוי הגאומטרי לעולם קטן או שווה מן הריבוי האלגברי, התנאי האחרון שקול לתנאי הבא: סכום הריבויים הגאומטריים של כל הערכים העצמיים שווה למימד המטריצה.

אם המטריצה A ניתנת ללכסון, אפשר להרכיב מטריצה מלכסנת P על ידי איסוף בסיס של וקטורים עצמיים כעמודות במטריצה. במקרה כזה האלכסון הראשי של המטריצה האלכסונית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ P^{-1}AP} הם הערכים העצמיים של A, כאשר כל ערך מופיע בה מספר פעמים ששווה לריבוי האלגברי שלו.

מוטיבציה ושימושים

המוטיבציה ללכסון מטריצות היא הנוחות הרבה שבעבודה עם מטריצות אלכסוניות: הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים שלה ברורים מאד ואין קושי במציאתם, וקל מאד להעלות אותה בחזקה: די בהעלאת כל איבר ואיבר שלה באותה חזקה. דבר זה חשוב במיוחד לצורך העלאה בחזקה של מטריצות שאינן אלכסוניות, אך הן לכסינות. למשל, תהי A המטריצה הלכסינה, D המטריצה האלכסונית הדומה לה ו-P המטריצה המלכסנת: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ D = P^{-1} A P} , או באופן שקול: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A = P D P^{-1}} . נעלה את A בחזקה:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ A^{n}=(PDP^{-1})^{n}=(PDP^{-1})(PDP^{-1})...(PDP^{-1})=PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)D...(P^{-1}P)DP^{-1}=PD^{n}P^{-1}}

כלומר, לשם העלאת מטריצה לכסינה בחזקה n אין צורך לבצע כפל מטריצות n-1 פעמים, אלא די בשתי פעולות כפל מטריצות, שכן העלאת מטריצה אלכסונית בחזקה היא כאמור טריוויאלית.

ככלל, מעל לשדה המספרים המרוכבים, קיים סיכוי רב יותר שמטריצה אקראית תהיה לכסינה. הדבר אינו נכון לגבי המספרים הממשיים: הסיכוי שמטריצה אקראית מעל למספרים הממשיים תהיה לכסינה הולך ופוחת ככל שסדר המטריצה גדל.

משפט חשוב אומר שכל מטריצה הרמיטית ניתנת ללכסון אוניטרי. במקרה הפרטי שבו מדובר במטריצה סימטרית ממשית, זה אומר שהיא ניתנת ללכסון והמטריצה המלכסנת היא מטריצה אורתוגונלית.

בנוסף, ללכסון מטריצות חשיבות מכרעת בפיזיקה, בין היתר לשם מציאת אופני תנודה עצמיים של מערכת וכן לפתרון משוואת שרדינגר.

אלגוריתם ללכסון מטריצות

תהי A מטריצה ריבועית לכסינה מסדר n.

  1. נפתור את הפולינום האופייני למציאת הערכים העצמיים של המטריצה.
  2. המטריצה האלכסונית היא כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_1 , ... , \lambda_n} הם שורשי הפולינום האופייני.
  3. נמצא את הריבוי הגאומטרי, כלומר: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \dim \ker ( \lambda I - A)} עבור כל ערך עצמי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} .
  4. נמצא את המרחב העצמי של כל ערך עצמי, המרחב המכיל את הווקטורים העצמיים לכל ערך עצמי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lambda} (כלומר: את הווקטורים השונים מאפס המאפסים את המטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (A - \ \lambda I)} . בדרך כלל נהוג לנרמל אותם כך ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{v} \cdot \vec{v} = \langle \vec{v} , \vec{v} \rangle = 1} ).
  5. נסמן ב-P את המטריצה שעמודותיה הם ווקטורים עצמיים בלתי תלויים לינארית (זוהי המטריצה המלכסנת). אזי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ D = P^{-1} A P} .

לכסון אוניטרי

לכסון אוניטרי הוא לכסון של מטריצה בעזרת מטריצה אוניטרית.

כאשר מעל שדה הממשיים (עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F = \mathbb{R}} ) הלכסון נקרא גם לכסון אורתוגונלי.

הגדרה

מטריצה היא לכסינה אוניטרית, אם קיים בסיס אורתונורמלי של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V=F^n} (כאשר V מעל שדה F), שבו המטריצה תיוצג כמטריצה אלכסונית, כך

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q^{-1} AQ=D=\operatorname{diag}(a_1,a_2,...,a_n)}

כאשר A היא המטריצה אותה אנחנו רוצים ללכסן, Q היא המטריצה המלכסנת, שעמודותיה מורכבות מבסיס אורתונורמלי ו-D היא מטריצה אלכסונית.

מטריצה במרחב אוניטרי ניתנת לליכסון, רק אם היא נורמלית וכל מטריצה נורמלית ניתנת לליכסון אוניטרי.

מטריצה ניתנת לשילוש

מטריצה ריבועית ניתנת לשילוש (או: שלישה) אם היא דומה למטריצה משולשית עליונה, כלומר, אם יש מטריצה הפיכה כך ש משולשית עליונה. מטריצה ניתנת לשילוש (מעל שדה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{F}} ) אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים מעל אותו שדה. בפרט, כל מטריצה מעל שדה המספרים המרוכבים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{C}} ניתנת לשילוש שם.

מטריצה ניתנת לשילוש אוניטרי (כלומר ניתנת לשילוש על ידי מטריצה כך ש היא מטריצה אוניטרית) אם ורק אם היא ניתנת לשילוש.

ראו גם

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.