עקמומיות גאודזית

		יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי.
		הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.	עריכה

בגאומטריה דיפרנציאלית, העקמומיות הגאודזית ${\displaystyle k_{g}}$ (באנגלית: Geodesic curvature) של עקום נתון ${\displaystyle \gamma }$ היא גודל המודד כמה רחוק העקום מלהיות מסילה גאודזית. בתוך יריעה נתונה ${\displaystyle {\bar {M}}}$, העקמומיות הגאודזית היא פשוט העקמומיות הרגילה של העקום הנח בה. לעומת זאת, כאשר העקום חייב להימצא בתוך תת-יריעה ${\displaystyle M}$ של ${\displaystyle {\bar {M}}}$ (למשל, במקרה של עקומים על גבי משטח נתון), העקמומיות הגאודזית מתייחסת לעקמומיות של ${\displaystyle \gamma }$ "הנצפית" מתוך תת היריעה ${\displaystyle M}$ והיא שונה באופן כללי מהעקמומיות הנצפית של ${\displaystyle \gamma }$ ביריעה בה היא משוכנת (כלומר ב-${\displaystyle {\bar {M}}}$). העקמומיות ${\displaystyle k}$ של ${\displaystyle \gamma }$ כפי שנצפית ביריעה הגדולה יותר תלויה בשני גורמים: העקמומיות של תת היריעה ${\displaystyle M}$ בכיוון של ${\displaystyle \gamma }$ (העקמומיות הנורמלית ${\displaystyle k_{n}}$), שתלויה רק בכיוון של העקום, והעקמומיות של ${\displaystyle \gamma }$ הנראית מתת היריעה ${\displaystyle M}$ (העקמומיות הגאודזית ${\displaystyle k_{g}}$). הקשר המתמטי בין אלו הוא ${\displaystyle k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2}}}}$ . בפרט, לעקומים גאודזיים על ${\displaystyle M}$ יש עקמומיות גאודזית אפס (הם "ישרים"), כך ש-${\displaystyle k=k_{n}}$, מה שמסביר מדוע הם נראים עקומים במרחב המקיף בו משוכנת היריעה.

מבחינה היסטורית, מושג העקמומיות הגאודזית קדם למושג היריעה, כך שקודם הוכח שהעקמומיות הגאודזית המוגדרת כ-${\displaystyle k_{g}={\sqrt {k^{2}-k_{n}^{2}}}}$ היא אכן גודל פנימי "שמור" של המשטח.

דוגמה

נניח כי ${\displaystyle M}$ היא ספירת היחידה ${\displaystyle S^{2}}$ במרחב אוקלידי תלת-ממדי. העקמומיות הנורמלית של ${\displaystyle S^{2}}$ היא זהותית אחת, ללא קשר לכיוון החתך. למעגלים גדולים יש עקמומיות ${\displaystyle k=1}$, כך שיש להם עקמומיות גיאודזית אפס, ולכן הם עקומים גאודזיים. ל-"מעגלים קטנים" בעלי רדיוס ${\displaystyle r}$ יש עקמומיות ${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$ ועקמומיות גאודזית ${\displaystyle k_{g}={\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{r}}}$ . באופן כללי, בגאומטריה הלא-אוקלידית שמתקיימת על פני משטחים עקומים, עקומים בעלי עקמומיות גאודזית קבועה שונה מאפס ניתנים למידול כמעגלים.

ראו גם

• משפט גאוס-בונה