פונקציה הומוגנית

העתקות לינאריות

כל העתקה לינארית ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$ היא פונקציה הומוגנית מסדר 1 שכן על פי הגדרת הלינאריות: ${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}$ לכל ${\displaystyle \alpha \in F}$ ולכל ${\displaystyle v\in V}$ .

פולינומים הומוגניים

כל מונום (חד-איבר) ב-n משתנים מגדיר פונקציה הומוגנית ${\displaystyle f:F^{n}\rightarrow F}$. לדוגמה שטח של ריבוע - ${\displaystyle \ S\left(a\right)=a^{2}}$ - הוא מונום הומוגני ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ מסדר שני, כי אם מכפילים את אורך הצלע בקבוע, מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה שנייה עם השטח הרגיל, כלומר ${\displaystyle \ S\left(ca\right)=c^{2}a^{2}}$ .

סכום של מונומים הומוגניים מאותו סדר יוצרים פולינום הומוגני. לדוגמה: ${\displaystyle \ x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$ הוא פולינום הומוגני מסדר 5.

פונקציות רציונליות

הפונקציה הרציונלית הנוצרת מחלוקה של שני פולינומים הומוגניים, היא פונקציה הומוגנית למעט בנקודות בהן הפונקציה במכנה מתאפסת. כלומר אם f הוא פולינום הומוגני מסדר m וg הוא פולינום הומוגני מסדר n, אזי ${\displaystyle {\frac {f}{g}}}$ היא פונקציה הומוגנית מסדר m-n בכל הנקודות חוץ מבשורשים של g.

פונקציות רציונליות הומוגניות מסדר 0, כגון: ${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{(x+2y+3z)^{2}}}}$, מוגדרות היטב על הנקודות של המישור הפרויקטיבי.

ניסוח המשפט

תהי ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ פונקציה חלקה אזי f הומוגנית חיובית מסדר k אם ורק אם:

${\displaystyle \ \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=kf(\mathbf {x} )}$.

הוכחה

${\displaystyle \Leftarrow }$ תהי ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ פונקציה חלקה והומוגנית חיובית מסדר k אזי: ${\displaystyle \ f(a\mathbf {x} )=a^{k}f(\mathbf {x} )}$. נגזור את שני האגפים לפי a ונקבל: ${\displaystyle {\frac {df(a\mathbf {x} )}{da}}=\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} )=ka^{k-1}f(\mathbf {x} )}$.

מכיוון שהומוגניות היא תכונה שמתקיימת עבור כל ${\displaystyle \ a}$, נציב ${\displaystyle \ a=1}$ ונקבל: ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )}$.

${\displaystyle \Rightarrow }$ תהי ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ פונקציה חלקה המקיימת ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )}$ לכל ${\displaystyle \mathbf {x} }$.

נבחר ${\displaystyle \mathbf {x} }$ כלשהו ונגדיר: ${\displaystyle \ g(a)=a^{-k}f(a\mathbf {x} )}$.

כעת: ${\displaystyle {\frac {dg}{da}}=-ka^{-k-1}f(a\mathbf {x} )+a^{-k}\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} )}$.

נציב: ${\displaystyle a\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} )=kf(a\mathbf {x} )}$.

ונקבל: ${\displaystyle {\frac {dg}{da}}=-ka^{-k-1}f(a\mathbf {x} )+a^{-k}{\frac {kf(a\mathbf {x} )}{a}}=0}$. לכן ${\displaystyle \ g}$ היא פונקציה קבועה.

נשים לב ש: ${\displaystyle \ g(1)=f(\mathbf {x} )}$ לכן לכל ${\displaystyle \ a>0}$ מתקיים ${\displaystyle \ g(a)=f(\mathbf {x} )}$. כלומר ${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=a^{k}f(\mathbf {x} )}$^[1]

תוצאה

עבור פונקציה ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ גזירה והומוגנית חיובית מסדר k נקבל ש: ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$ היא הומוגנית מסדר k-1. כלומר:

${\displaystyle \left.{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right|_{cx}=c^{k-1}\left.{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right|_{x}}$.

תוצאה זו מתקבלת מגזירת משפט אוילר לפי ${\displaystyle \ x_{i}}$. שכן על פי משפט אוילר:

${\displaystyle \ \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )}$.

נגזור לפי ${\displaystyle \ x_{i}}$ ונקבל:

${\displaystyle {\frac {\partial (\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} ))}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}+\mathbf {x} \cdot \nabla {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=k{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$.

ולכן:

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=(k-1){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$. הפעלה של הצד השני של משפט אוילר תיתן את התוצאה.