פונקציית המלבן

פונקציית המלבן

פונקציית המלבן (אנגלית: rectangular, rectangle function, rect function או unit pulse – ידועה גם כפולס של גל מרובע) מוגדרת כדלהלן:

${\displaystyle {\text{rect}}(t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0&:|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&:|t|={\frac {1}{2}}\\1&:|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}}$

ישנן הגדרות שונות של ערך הפונקציה ${\displaystyle {\text{rect}}\left(\pm {\tfrac {1}{2}}\right)}$ בנקודות אי-הרציפות ${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{2}}}$ והן 0, 0.5, 1 או לא מוגדר.

אפשר לבטא את פונקציית המלבן באמצעות פונקציית מדרגה ${\displaystyle u(t)}$ :

${\displaystyle {\text{rect}}\left({\frac {t}{\tau }}\right)=u\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)-u\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)}$

או לחלופין

${\displaystyle {\text{rect}}(t)=u\left(t+{\frac {1}{2}}\right)\cdot u\left({\frac {1}{2}}-t\right)}$

פונקציית המלבן מנורמלת מבחינת שטח:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\text{rect}}(t)dt=1}$

התמרת פורייה הרציפה של פונקציית המלבן היא

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\text{rect}}(t)\cdot e^{-\omega ti}dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\text{sinc}}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)}$

ובמונחי פונקציית sinc:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\text{rect}}(t)\cdot e^{-2\pi ift}dt={\text{sinc}}(f)}$

ניתן להגדיר את פונקציית המשולש כקונוולוציה של 2 פונקציות מלבן:

${\displaystyle {\text{tri}}(t)={\text{rect}}(t)*{\text{rect}}(t)}$

כאשר מסתכלים על פונקציית מלבן כהתפלגות הסתברות, הפונקציה האופיינית שלה היא

${\displaystyle \varphi (k)={\frac {\sin \left({\frac {k}{2}}\right)}{\frac {k}{2}}}}$

והפונקציה יוצרת מומנטים שלה היא

${\displaystyle M(k)={\frac {\sinh \left({\frac {k}{2}}\right)}{\frac {k}{2}}}}$

כאשר ${\displaystyle \sinh(t)}$ סינוס היפרבולי.

ראו גם

• התמרת פורייה
• גל מרובע
• פונקציית המשולש