פונקציית הסתברות

פונקציית ההסתברות הבדידה של קוביית משחק הוגנת. לכל הפאות בקובייה סיכוי שווה להתקבל בעת הטלתה

בתורת ההסתברות, פונקציית הסתברות היא פונקציה המחזירה את ההסתברות שערכו של משתנה מקרי בדיד יהיה שווה בדיוק לערך כלשהו. בשונה מפונקציית הצפיפות, ההסתברות למאורע כלשהו מתקבלת ישירות על ידי הצבה בפונקציה, ולא באמצעות אינטגרציה שלה.

הגדרה מתמטית

יהי ${\displaystyle \ X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ משתנה מקרי בדיד המוגדר על מרחב מדגם ${\displaystyle \ \Omega }$. פונקציית ההסתברות ${\displaystyle \ f_{X}:\mathbb {R} \rightarrow [0,1]}$ מוגדרת על ידי ${\displaystyle \,f_{X}(x)=\Pr(X=x)=\Pr(\{\omega \in \Omega :X(\omega )=x\})}$. על-פי ההגדרה, ${\displaystyle \ f_{X}}$ מוגדרת עבור כל המספרים הממשיים, ומחזירה את הערך 0 בערכים ש-${\displaystyle \ X}$ אינו יכול לקבל.

פונקציית ההסתברות מקיימת את שלוש האקסיומות הבאות:

1. הסתברותו של כל מאורע במרחב המדגם גדולה או שווה לאפס ${\displaystyle \forall A\in \Omega P(A)\geq 0}$
2. סכום ההסתברויות של כל המאורעות במרחב המדגם שווה 1 ${\displaystyle \Sigma P(\omega _{i})=P(\Omega )=1}$
3. סכום ההסתברויות של שני מאורעות זרים שווה להסתברות של איחוד מאורעות אלו, קרי אם ${\displaystyle A,B\in \Omega }$ ומתקיים ${\displaystyle P(A\cap B)=0}$ אז ${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)}$