פונקציית ליוביל

במתמטיקה, פונקציית ליוביל, על שם ז'וזף ליוביל, היא פונקציה אריתמטית חשובה בתורת המספרים, המוגדרת לכל ${\displaystyle n}$ טבעי על ידי:

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$

כאשר ${\displaystyle \Omega (n)}$ מספר המספרים הראשוניים המחלקים את ${\displaystyle n}$ .

ניתן לראות כי ${\displaystyle \Omega (ab)=\Omega (a)+\Omega (b)}$ , אז ${\displaystyle \lambda (ab)=\lambda (a)\lambda (b)}$ . למספר 1 אין גורמים ראשוניים, אז ${\displaystyle \Omega (1)=0}$ ומכאן ${\displaystyle \lambda (1)=1}$ . ניתן לראות כי:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&:n=k^{2},k\in \mathbb {N} \\0&:n\neq k^{2}\end{cases}}}

ניתן לראות כי פונקציית ליוביל והערך המוחלט של פונקציית מביוס הם הופכי דיריכלה. פונקציית ליוביל מופיע גם בטורים של פונקציות אחרות, לדוגמה

• ${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {\vartheta _{3}(q)-1}{2}}}$

כאשר ${\displaystyle \vartheta _{3}(q)}$ פונקציית תטא של יעקובי.

לאורך השנים הוצגו שתי השערות בנוגע לפונקציית ליוביל, אך שתיהן הוכחו כשגויות.

הטענה הראשונה הייתה שאם נגדיר פונקציה ${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)}$ , אז ${\displaystyle L(n)\leq 0}$ לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n>1} . השערה זו ידוע בתור השערת פוליה והוצא על ידי ג'ורג' פוליה בשנת 1919, אך הוכחה כשגויה בשנת 1980. עבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=906150257} .

הטענה השנייה הייתה שאם נגדיר פונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T(n)=\sum_{k=1}^n\frac{\lambda(k)}{k}} אז עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle T(n)\geq 0} . אך השערה זו הוכחה כלא נכונה בשנת 1958, מכיוון שלפונקציה יש נקודות שליליות רבות. אם השערה זו הייתה נכונה, אז הדבר היה מוביל להוכחת השערת רימן, כפי שהראה פול טוראן.