קבוע צ'אמפרנאוונה

במתמטיקה, קבוע צאמפרנאוונה (Champernowne constant) הוא מספר טרנסצנדנטי ממשי המורכב מרצף כל המספרים הטבעיים:

${\displaystyle C_{10}=0.12345678910111213141516\ldots }$

מספר זה הנו חלק מסדרה של מספרים טרנסצנדנטיים אחרים, המסומנים ${\displaystyle \{C_{b}\}_{b\in \mathbb {N} ,b\geq 2}}$, בה האיבר ה-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} מוגדר כבעל היצוג העשרוני בו מופיעים המספרים הטבעיים כשהם מוצגים בבסיס עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} . מספרים אלו הוגדרו על ידי דיוויד צ'אמפרנאוונה בשנת 1933.

שני המספרים הראשונים בסדרה הם:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{2}&=0.11011100101110111\ldots \\C_{3}&=0.12101112202122\ldots \end{aligned}}}$

ביתר כלליות, האיבר ה-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} בסדרה מוגדר על ידי הטור אינסופי הבא:

${\displaystyle C_{b}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=b^{n-1}}^{b^{n}-1}{\frac {k}{b^{\begin{aligned}n(k-b^{n-1}+1)+(b-1)\sum \limits _{m=1}^{n-1}b^{m-1}m\end{aligned}}}}}$

תכונות

כל מספר ${\displaystyle C_{b}}$ הוא מספר נורמלי בבסיס עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b}  : רצפי ספרות בפיתוח העשרוני מתנהגים כאילו נבחרו באקראי בהתפלגות שווה. מידת האי-רציונליות של האיבר ${\displaystyle C_{b}}$ היא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} .

את המספר ${\displaystyle C_{10}}$ ניתן להציג כשבר משולב באופן הבא:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}C_{10}=&[0;8,9,1,149083,1,1,1,4,1,1,1,3,4,1,1,1,15,\\&4\,57540\,11139\,10310\,76483\,64662\,82429\,56118\,59960\,39397\,10457\,55500\,06620\,04393\,09026\,26592\,56314\,93795\\&32077\,47128\,65631\,38641\,20937\,55035\,52094\,60718\,30899\,84575\,80146\,98631\,48833\,59214\,17830\,10987,\\&6,1,1,21,1,9,1,1,2,3,1,7,2,1,83,1,156,4,58,8,54,\ldots]\end{align}}

קירובים למספר ${\displaystyle C_{10}}$ הם:

1. ${\displaystyle {\frac {10}{81}}=0.{\overline {123456790}}}$ (בעל שגיאה של  ${\displaystyle 10^{-9}}$).
2. ${\displaystyle {\frac {60499999499}{490050000000}}=0.123456789{\overline {101112\ldots 96979900010203040506070809}}}$ (בעל שגיאה של ${\displaystyle 9\cdot 10^{-190}}$).

ראו גם

• קבוע ארדש-קופלנד
• מספר ליוביל