הקבוצה הנגזרת

בטופולוגיה, הקבוצה הנגזרת של קבוצה A במרחב טופולוגי היא קבוצת כל נקודות ההצטברות שלה; מקובל לסמן את הקבוצה הנגזרת ב- ${\displaystyle \ A'}$. את המושג הגדיר גאורג קנטור ב-1872. במידה רבה, הוא פיתח את תורת הקבוצות כדי ללמוד את הנגזרות של קבוצות בישר הממשי.

תכונות

הסגור של קבוצה A במרחב טופולוגי X שווה לאיחוד ${\displaystyle \ {\overline {A}}=A\cup A'}$, ולכן A סגורה אם ורק אם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ A'\subseteq A} . הקבוצה A נקראת קבוצה מושלמת, אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A = A'} : הקבוצות המושלמות הן קבוצות סגורות, ללא אף נקודה מבודדת.

"קבוצה דקה" (meager set) היא קבוצה שאפשר להציג כאיחוד של קבוצות בעלות נגזרת ריקה.

הנגזרת קובעת את הטופולוגיה

מקובל להגדיר ששני מרחבים טופולוגיים הם הומיאומורפיים אם יש העתקה חד-חד-ערכית מהראשון על משנהו, המעבירה את הקבוצות הפתוחות מן המרחב הראשון אל הקבוצות הפתוחות בשני. באופן שקול לזה, שני מרחבים הם הומיאומורפיים אם יש העתקה חד-חד-ערכית f מהראשון על משנהו, כך שמתקיים ${\displaystyle \ f(A')=f(A)'}$ לכל קבוצה A.

אפשר לאפיין את הטופולוגיה של המרחב באמצעות הקבוצות הנגזרות. כאופרטור מתת-קבוצות לתת-קבוצות של המרחב, הנגזרת מקיימת את התכונות הבאות:

1. עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \empty^' = \empty}
2. ${\displaystyle S^{''}\subseteq S^{'}}$
3. עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle a\in S^{'}\to a\in (S\setminus \{a\})^{'}}
4. ${\displaystyle (S\cup T)^{'}\subseteq S^{'}\cup T^{'}}$
5. עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle S\subseteq T\to S^{'}\subseteq T^{'}} ;

ובהינתן אופרטור כזה, אפשר לשחזר ממנו את הטופולוגיה, אם נבחין שקבוצה U היא פתוחה אם ורק אם היא זרה לנגזרת עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (U^{c})'} של הקבוצה המשלימה.

דרגת קנטור-בנדיקסון

לכל מספר סודר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha} אפשר להגדיר את נגזרת קנטור-בנדיקסון מסדר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha} של מרחב טופולוגי X, באינדוקציה טרנספיניטית:

• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ X^{0} = X} .
• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ X^{\alpha+1} = (X^{\alpha})'} .
• ${\displaystyle \ X^{\alpha }=\bigcap _{\beta <\alpha }X^{\beta }}$ לכל סודר גבולי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha} .

סדרת הנגזרות של כל מרחב נתון מוכרחה לעצור בסופו של דבר, והסודר הקטן ביותר שעבורו ${\displaystyle \ X^{\alpha +1}=X^{\alpha }}$ נקרא דרגת קנטור-בנדיקסון של המרחב. המרחבים המושלמים הם אלו שהדרגה שלהם היא 0.

ראו גם

• משפט קנטור-בנדיקסון