קוואזי-חבורה

מבנים אלגבריים שונים. הוספת תכונה מתאימה מצמצת את המחלקה

באלגברה מופשטת, קוואזי-חבורה (מאנגלית: Quasigroup) הנה מבנה אלגברי דומה לחבורה, בה לא נדרשים אסוציאטיביות וקיום איבר יחידה. על כן, התכונה הנדרשת בקוואזי-חבורה הנה חילוק (משמאל ומימין) של כל איבריה. מדובר במבנים כלליים יותר מחבורות, להם מבנה עשיר ומסובך יותר. לולאה (loop) הנה קוואזי-חבורה עם יחידה.

כל קוואזי-חבורה איזוטופית ללואה, אך לא בהכרח איזומורפית אליה. כל לולאה שאיזוטופית לחבורה היא גם איזומורפית אליה. לקוואזי-חבורות יש גם קשר לריבועים לטיניים - לוח הכפל של קוואזי-חבורה הנו ריבוע לטיני, וכל ריבוע לטיני מהווה לוח כפל של קוואזי-חבורה כלשהי.

הגדרה

קבוצה Q עם פעולה בינארית ${\displaystyle \cdot }$ נקראת קוואזי-חבורה אם כל איברי הקבוצה הפיכים ביחס לפעולה מימין ומשמאל. דהיינו, לכל ${\displaystyle a,b\in Q}$ קיימים ויחידים פתרונות למשוואות ${\displaystyle a\cdot x=b,\quad y\cdot a=b}$. פתרונות אלו מסומנים כ-${\displaystyle x=a/b,\quad y=a\setminus b}$.

בכל קוואזי-חבורה מתקיימות אם כן הזהויות הבאות: ${\displaystyle x\cdot (x/y)=x\setminus (x\cdot y)=y,\quad (x/y)\cdot y=(x\cdot y)/y=x}$. מנגד, זהויות אלו מאפשרות להגדיר קוואזי-חבורה: קבוצה Q עם שלוש פעולות בינאריות ${\displaystyle (\cdot ,/,\setminus )}$ אשר איבריה מקיימים את הזהויות לעיל היא קוואזי-חבורה.

דרך נוספת להגדיר קוואזי-חבורה היא בעזרת ריבועים לטיניים: זהו ריבוע בגודל nXn בו מסודרים n איברים בשורות ובעמודות, כך שכל איבר מופיע פעם אחת בדיוק בכל שורה ועמודה. קל לראות שכל ריבוע כזה מהווה לוח כפל של קוואזי-חבורה, ושלוח הכפל של כל קוואזי-חבורה הוא ריבוע לטיני (כאשר משמיטים את עמודות האיברים המוכפלים).

קוואזי-חבורה עם איבר יחידה, היינו איבר ${\displaystyle e\in Q}$ המקיים ${\displaystyle xe=ex=x}$, נקראת לולאה.

איזוטופיה

שתי קוואזי-חבורות ${\displaystyle Q,Q'}$ נקראת איזוטופיות אם קיימות שלוש העתקות הפיכות ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma :Q\to Q'}$ כך ש-${\displaystyle \gamma (a\cdot b)=\alpha (a)\cdot \beta (b)}$ (הכפל בקוואזי-חבורות Q ו-'Q בהתאמה). ברמת הריבועים הלטיניים, איזוטופיה פירושה התמרת שורות ועמודות הריבוע. במקרה 'Q=Q, ההעתקות כלעיל נקראות אוטוטופיה; קבוצת האוטוטופיות של קוואזי-חבורה נתונה היא חבורה ביחס לפעולת ההרכבה.

כל קוואזי-חבורה איזוטופית ללולאה: מתקיים ${\displaystyle Q\sim Q(\circ )}$, כאשר ${\displaystyle Q(\circ )}$ היא הלולאה הנבנית מבחירת שני איברים ${\displaystyle a,b\in Q}$ והגדרת הפעולה ${\displaystyle \circ }$ על אותה הקבוצה Q, כך שמתקיים ${\displaystyle x\cdot y=xb\circ ay}$. האיזוטופיה נתונה אם כן על ידי ${\displaystyle (R_{b},L_{a},\operatorname {id} )}$.

מונח האיזוטופיה מאבד משמעות כאשר מדובר בחבורה - שתי חבורות איזוטופיות הן גם איזומורפיות, לפי משפט שהוכיח אלברט. ביתר כלליות, אם לולאה איזוטופית לחבורה, היא גם איזומורפית אליה.

דוגמאות

• קבוצת המספרים השלמים יחד עם פעולת החיסור היא קוואזי-חבורה.
• קבוצת הרציונליים וקבוצת הממשיים השונים מאפס עם פעולת החילוק הן קוואזי-חבורות.
• קבוצת האוקטוניונים השונים מאפס יחד עם פעולת הכפל היא לולאה. האוקטוניונים מהווים לולאת מופן.
• קבוצת האיברים ההפיכים בכל אלגברה לא אסוציאטיבית מהווים קוואזי-חבורה. אם לאלגברה יש יחידה, קוואזי-חבורה זו הנה גם לולאה.

ראו גם

• מאגמה
• חבורה למחצה
• חבורה

לקריאה נוספת

• Bruck, R.H. (1971). A Survey of Binary Systems.