רדיקל של אידאל

בתורת החוגים, הרדיקל של אידאל A בחוג R הוא החיתוך של כל האידאלים הראשוניים המכילים את A. בחוג קומוטטיבי, הרדיקל כולל את כל האיברים שחזקה כלשהי שלהם שייכת ל- A, ועל-כן מסמנים את הרדיקל של A בסימון ${\displaystyle \ {\sqrt {A}}}$. הרדיקל הוא אידאל בעצמו, ותמיד ${\displaystyle A\subseteq {\sqrt {A}}}$.

הרדיקל של כל אידאל הוא אידאל רדיקלי, כלומר שווה לרדיקל של עצמו. כל אידאל ראשוני הוא רדיקלי, אבל ההיפך אינו נכון (${\displaystyle \ 6\mathbb {Z} }$ רדיקלי אבל אינו ראשוני).

הקשר בין אידאלים רדיקליים של חוג הפולינומים ${\displaystyle \ F[\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}]}$ לבין יריעות אלגבריות הוא אחד הרעיונות היסודיים בגאומטריה אלגברית (ראו גם - משפט האפסים של הילברט).

תכונות

• אם ${\displaystyle I,J}$ אידאלים בחוג ${\displaystyle R}$ ו${\displaystyle I\subseteq J}$, אז ${\displaystyle {\sqrt {I}}\subseteq {\sqrt {J}}}$.

• לכל שני אידאלים ${\displaystyle I,J}$ מתקיים ${\displaystyle {\sqrt {I+J}}={\sqrt {{\sqrt {I}}+{\sqrt {J}}}}}$.

דוגמאות

• בחוג השלמים, הרדיקל של האידאל ${\displaystyle \ n\mathbb {Z} }$ נוצר על ידי הרדיקל של n: מכפלת הראשוניים השונים המחלקים את n. לדוגמה, ${\displaystyle \ {\sqrt {180\mathbb {Z} }}=30\mathbb {Z} }$. מושג הרדיקל של אידאל מכליל, לפיכך, את הרדיקל של מספרים שלמים.

• לכל חוג ${\displaystyle R}$, הרדיקל של ${\displaystyle ({x}^{2})}$ בחוג הפולינומים ${\displaystyle R[x]}$ הוא ${\displaystyle (x)}$.