שדה המחלקה של הילברט

שדה המחלקה של הילברט הוא שדה שנועד לענות על השאלה כמה חוג השלמים של שדה מספרים הוא תחום ראשי.

הגדרה

יהי K שדה מספרים (הרחבה מממד סופי של שדה המספרים הרציונליים ${\displaystyle \mathbb {Q} }$). שדה המחלקה של הילברט ${\displaystyle E=H(K)}$ הוא הרחבת גלואה האבלית הלא-מסועפת המקסימלית של K.

תכונות

• ההרחבה ${\displaystyle H(K)/K}$ היא הרחבת גלואה מממד סופי של K ומקיימת ${\displaystyle \left[H(K):K\right]=|\mathrm {Cl} _{K}|=h_{K}}$ כאשר ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{k}}$ היא חבורת מחלקות האידאלים (class group) של K (חבורה זו מורכבת ממחלקות השקילות של אידאלים בחוג השלמים של K, עם יחס השקילות שאידאלים A ו-B שקולים אם הם שווים עד כדי כפל באידאלים ראשיים: ${\displaystyle A\sim B\iff \exists x,y\in {\mathcal {O}}_{K}:(x)A=(y)B}$).
• חבורת מחלקות האידאלים איזומורפית לחבורת גלואה של ההרחבה: ${\displaystyle \mathrm {Gal} \left(H(K)/K\right)\cong \mathrm {Cl} _{K}}$.
• כל אידאל ב-${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ הוא אידאל ראשי ב-${\displaystyle {\mathcal {O}}_{H(K)}}$.
• כל אידאל ראשוני P ב-${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ מתפרק למכפלה של ${\displaystyle h_{K}/f}$ אידאלים ראשוניים ב-${\displaystyle {\mathcal {O}}_{H(K)}}$ כאשר f הוא הסדר של [P] בחבורת מחלקות האידאלים ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{K}}$.

מסקנה

מתכונות אלו ברור ש-${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ הוא תחום ראשי אם ורק אם ${\displaystyle H(K)=K}$, כלומר: הוא שדה המחלקה של עצמו. במקרה זה חבורת גלואה של ההרחבה היא טריוויאלית, ואז גם חבורת מחלקות האידאלים טריוויאלית: כלומר - כל האידאלים בחוג השלמים הם ראשיים.