חבורת גלואה

במתמטיקה, ובפרט בתורת גלואה, חבורת גלואה של הרחבת שדות ${\displaystyle \ E/F}$ היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה ${\displaystyle \ E}$, המעבירים כל איבר של השדה ${\displaystyle \ F}$ לעצמו.

חבורה זו נקראת על שם אווריסט גלואה, אבי תורת החבורות.

לחבורה זו חשיבות גדולה באפיון ההרחבה ${\displaystyle \ E/F}$, זאת בזכות המשפט היסודי של תורת גלואה המציג את הקשר בין שדות הביניים של ההרחבה, לבין תת החבורות של חבורת הגלואה של ההרחבה.

הגדרה

יהי ${\displaystyle \ F}$ שדה, ותהי ${\displaystyle \ E/F}$ הרחבת שדות. חבורת הגלואה של ההרחבה ${\displaystyle \ E/F}$ המסומנת ב${\displaystyle \ \operatorname {G} \left(E/F\right)}$, ${\displaystyle \operatorname {Aut} \left(E/F\right)}$ או ב${\displaystyle \ \operatorname {Gal} \left(E/F\right)}$ מוגדרת להיות

${\displaystyle \ \operatorname {G} \left(E/F\right)=\{\sigma \in \operatorname {Aut} \left(E\right)|\sigma (x)=x;\forall x\in F\}}$

כאשר ${\displaystyle \operatorname {Aut} \left(E\right)}$ היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה ${\displaystyle \ E}$.

קל לבדוק שזוהי אכן חבורה.

דוגמאות

• חבורת הגלואה של ההרחבה ${\displaystyle \ \mathbb {C} /\mathbb {R} }$ היא קבוצה המכילה שני איברים: את העתקת הזהות, ואת העתקת ההצמדה. זאת מאחר שאם ${\displaystyle \sigma }$ בחבורת הגלואה של ההרחבה, מתקיים ${\displaystyle \sigma \left(i^{2}+1\right)=\sigma (i)^{2}+1=0}$. לכן ${\displaystyle \sigma (i)\in \{-i,i\}}$. לכן מתקיים לכל ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ כי ${\displaystyle \ \sigma (a+bi)=\sigma (a)+\sigma (b)\sigma (i)=a+b\cdot \sigma (i)}$. במעבר האחרון השתמשנו בכך ש${\displaystyle \ \sigma }$ משאירה את איברי ${\displaystyle \mathbb {R} }$ במקום. לכן ${\displaystyle \sigma \left(a+bi\right)=a+bi}$ או ${\displaystyle \sigma \left(a+bi\right)=a-bi}$.
• באופן דומה, ניתן להראות כי חבורת הגלואה של ההרחבה עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)/\mathbb {Q} } מכילה שני איברים: העתקת הזהות, והעתקת ההצמדה: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma\left(a + b\sqrt{2}\right) = a - b\sqrt{2}}
• חבורת הגלואה של ההרחבה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R} / \mathbb{Q} } מכילה רק את העתקת הזהות. יתרה מזאת, חבורת האוטומורפיזמים של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R} } מכילה רק את העתקת הזהות. כדי להוכיח זאת, יש לשים לב שאוטומורפיזם של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R} } מעביר כל מספר חיובי למספר חיובי, מאחר שעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sigma(a^2) = \sigma(a)^2} ולכן שומרת על יחס סדר.
• תהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F / \mathbb{Q}} הרחבת שדות. אזי חבורת הגלואה של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F / \mathbb{Q}} היא חבורת האוטומורפיזמים של ${\displaystyle \ F}$, כלומר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{Aut}\left(F\right)} . זאת מאחר שהומומורפיזם של שדות מעביר את המספרים השלמים לעצמם, ולכן גם את המספרים הרציונליים לעצמם.
• יהי ${\displaystyle \ p}$ מספר ראשוני, ותהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K / \mathbb{F}_p} הרחבת שדות, אזי באופן דומה חבורת הגלואה של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ K / \mathbb{F}_p} היא חבורת האוטומורפיזמים של ${\displaystyle \ K}$, כלומר ${\displaystyle \ \operatorname {Aut} \left(K\right)}$.
• חבורת הגלואה של ההרחבה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{2}\right) / \mathbb{Q} } מכילה רק את העתקת הזהות. זאת מאחר שאם ${\displaystyle \sigma }$ בחבורה, מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma\left(\sqrt[3]{2}^3 - 2 \right) = \sigma(\sqrt[3]{2})^3 - 2 = 0 } . לכן בהכרח עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma\left(\sqrt[3]{2}\right) = \sqrt[3]{2}} . מאחר שעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}^2 \} } בסיס, נובע כי ${\displaystyle \sigma }$ היא בהכרח העתקת הזהות.

שדה השבת

יהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ E} שדה. תהי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ G\leq \operatorname {Aut} \left(E\right)} תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של ${\displaystyle \ E}$. נגדיר את שדה השבת של ${\displaystyle \ G}$, המסומן גם בעיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ E^{G}} להיות הקבוצה הבאה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E^G = \{ x \in E | \forall \sigma \in G : \sigma(x) = x \}}

כלומר, שדה השבת של ${\displaystyle \ G}$ הוא קבוצת כל האיברים מהשדה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ E} שכל איברי ${\displaystyle \ G}$ משאירים אותם במקום.

קל לבדוק שזהו אכן שדה. מתקיים כי אם ${\displaystyle \ E/F}$ הרחבת שדות ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G = \operatorname{G}\left(E/F\right)} אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F \le E^G} .

שוויון לא בהכרח מתקיים, למשל אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F = \mathbb{Q}} ו-${\displaystyle \ E=\mathbb {Q} \left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}$, אז ראינו קודם ש-${\displaystyle \ G}$ מכילה רק את העתקת הזהות ולכן מתקיים כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F \ne E^G = E}

תכונות

• אם ההרחבה ${\displaystyle \ E/F}$ מממד סופי, מתקיים כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left|\operatorname{G}\left(E/F\right)\right| \le \left[E:F\right]} , כאשר צד שמאל הוא גודל חבורת הגלואה וצד ימין הוא ממד ההרחבה.
• השוויון עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left|\operatorname{G}\left(E/F\right)\right| = \left[E:F\right]} מתקיים אם ורק אם ${\displaystyle \ E/F}$ הרחבת גלואה. הרחבות מסוג זה חשובות, מאחר שהן מקיימות את המשפט היסודי של תורת גלואה.
• הלמה של ארטין: יהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ E} שדה, ועיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ G\leq \operatorname {Aut} \left(E\right)} תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של ${\displaystyle \ E}$. אזי אם ${\displaystyle \ E^{G}=F}$ מתקיים ${\displaystyle |G|\leq \left[E:F\right]}$. מתקיים אפילו ${\displaystyle G=\operatorname {G} \left(E/F\right)}$

קישורים חיצוניים

• חבורת גלואה, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• חבורת גלואה, באתר MathWorld (באנגלית)