שער הדמר

בתורת האינפורמציה הקוונטית שער הדמר הוא שער קוונטי המממש טרנספורמציה על קיוביט יחיד, הקרויה על שם המתמטיקאי הצרפתי-יהודי ז'אק הדמר.

הגדרה

הטרנספורמציה ניתנת לרישום בתור המטריצה ${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}$.

דוגמאות

הפעלת שער הדמר על אוגר קוונטי של קיוביט בודד במצב ${\displaystyle |x\rangle ={\alpha \choose \beta }}$ יגרום לשינוי מצב האוגר ל

${\displaystyle H|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}{\alpha \choose \beta }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left(\alpha +\beta \right)|0\rangle +\left(\alpha -\beta \right)|1\rangle \right]}$.

לפיכך

${\displaystyle H|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )}$

${\displaystyle H|1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )}$

הרחבה ל n קיוביטים

הפעלת השער על אוגר בעל n קיוביטים, שקולה להפעלת H על כל אחד מהקיוביטים בנפרד. נסמן ב ${\displaystyle H^{\otimes n}}$ את השער עבור n קיוביטים.

${\displaystyle H^{\otimes n}\equiv H\otimes H\otimes \ldots \otimes H}$.

הפעלת השער על אוגר קוונטי במצב ${\displaystyle |x\rangle }$ כאשר ${\displaystyle x\in \{0,1\}^{n}}$ משנה את ערך האוגר לפי הנוסחא שלהלן

${\displaystyle H^{\otimes n}|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\left(\sum _{i=0}^{2^{n}-1}(-1)^{x\cdot i}|i\rangle \right)}$

כאשר ${\displaystyle x\cdot i}$ היא המכפלה הסקאלרית של ייצוג x ו i כמחרוזות בינאריות. במילים אחרות, אם נייצג את x כמחרוזת באורך n, ${\displaystyle x\equiv x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n-1}}$ וכנ"ל לגבי i, אזי ${\displaystyle x\cdot i=\oplus _{k=0}^{n-1}x_{k}\cdot i_{k}}$