משפטי סילו

משפטי סילו הם משפטים בתורת החבורות, העוסקים בתת-חבורות-p של חבורה סופית. הטענה המרכזית במשפטים אלה היא שאם ${\displaystyle \ p^{n}}$ היא החזקה המרבית של p ראשוני המחלקת את הגודל של חבורה G, אז יש ל-G תת-חבורה מסדר ${\displaystyle \ p^{n}}$. חבורות מסדר כזה נקראות חבורות p, ויש להן מבנה מיוחד מאד (למשל, הן נילפוטנטיות). משפטי סילו מאפשרים לחקור חבורות סופיות באמצעות תת-חבורות כאלה והפעולה שלה עליהן, ומכאן המעמד היסודי שלהן בתורת החבורות.

את המשפטים הוכיח המתמטיקאי הנורווגי לודוויג סילו בשנת 1872, והם מכלילים את משפט קושי שנוגע למקרה ${\displaystyle \ n=1}$.

במובן מסוים, משפטי סילו הפוכים למשפט לגראנז'. לפי משפט לגראנז', הסדר של תת-חבורה H של G חייב לחלק את הסדר של G. משפטי סילו מראים שאם נתון מחלק q של הסדר של G שהוא חזקת ראשוני, אז אפשר למצוא תת-חבורה מסדר q. משפטי סילו קובעים גם שכל החבורות שסדרן הוא חזקת-p מקסימלית, צמודות זו לזו.

הגדרות

אם ${\displaystyle \ p}$ הוא מספר ראשוני המחלק את הסדר של החבורה הסופית ${\displaystyle \ G}$, אז קיימת חזקה מקסימלית של p המחלקת את הסדר. כלומר ${\displaystyle \ p^{n}}$ מחלק, אבל ${\displaystyle \ p^{n+1}}$ לא. לתת-חבורה של G שסדרה שווה ל-${\displaystyle \ p^{n}}$ קוראים חבורת p-סילו של G. הגדרה שימושית אחרת לאותו מושג: חבורת p-סילו היא תת-חבורה של G שהיא חבורת-p, בעלת אינדקס זר ל-p.

לדוגמה, אם ${\displaystyle |G|=24=2^{3}\cdot 3}$ אז תת-חבורה מסדר 3 היא חבורת 3-סילו של ${\displaystyle \ G}$, ותת-חבורה מסדר 8 הינה חבורת 2-סילו של ${\displaystyle G}$.

ניסוח המשפטים

נניח ש-G חבורה סופית וש-${\displaystyle \ p^{n}}$ היא חזקה מקסימלית של ראשוני p המחלקת את הסדר של G. נסמן ב-${\displaystyle \ n_{p}}$ את מספרן של חבורות p-סילו השונות של G. נציין מיד שאם P חבורת סילו, אז תת-החבורות הצמודות לה גם הן חבורות p-סילו.

דוגמה

נראה שלכל חבורה G מסדר 105 מוכרחה להיות תת-חבורה נורמלית. ${\displaystyle \ 105=3\cdot 5\cdot 7}$, ולכן יש לחבורה תת-חבורות מסדר 3, 5 ו- 7. מספרן של החבורות מסדר 3 שקול ל-1 מודולו 3 ומחלק את 35 - ולכן הוא 1 או 7. באופן דומה מספרן של החבורות מסדר 5 הוא 1 או 21, ושל אלו מסדר 7 הוא 1 או 15. אם אחת מחבורות אלו היא יחידה מסדרה, אז היא נורמלית. נניח שאין כזו, אז יש 7 חבורות מסדר 3, שכולן ציקליות כמובן. חבורות מסדר ראשוני מוכרחות להיחתך זו עם זו באופן טריוויאלי, ולכן יש בהן ${\displaystyle \ 7\cdot (3-1)=14}$ איברים מסדר 3. באופן דומה יש 84 איברים מסדר 5 ו- 90 מסדר 7. ביחד יותר מ-105, וזה בלתי אפשרי.

הוכחות

למשפטי סילו יש הוכחות רבות, למשל באינדוקציה על הסדר של G. ההוכחה שנציג כאן מבוססת על הפעולה של G על קבוצות מסוימות, והיא מיוחסת לנתן ג'ייקובסון.

הוכחת המשפט הראשון. נסמן ב- X את אוסף כל תת-הקבוצות בגודל ${\displaystyle \ p^{n}}$ של G. מכיוון ש- ${\displaystyle \ |X|={|G| \choose p^{n}}={p^{n}m \choose p^{n}}}$, קל לחשב ש- p אינו מחלק את העוצמה של X. החבורה פועלת על X על ידי כפל משמאל: ${\displaystyle \ g:B\mapsto gB=\{gb:b\in B\}}$.

מכיוון שהגודל של X אינו מתחלק ב- p, מוכרח להיות מסלול תחת הפעולה של G, שגודלו אינו מתחלק ב- p. תהי ${\displaystyle \ B\in X}$ נקודה באותו מסלול; נבחר ${\displaystyle \ b\in B}$, אז גם ${\displaystyle \ b^{-1}B}$ היא נקודה באותו המסלול, והיא מכילה את איבר היחידה של G. לכן אפשר להניח ש- ${\displaystyle \ 1\in B}$. מצד אחד, המייצב של B מוכל ב- B (שהרי ${\displaystyle \ x\in xB=B}$), ולכן גודלו ${\displaystyle \ p^{n}}$ לכל היותר. מצד שני, האינדקס של המייצב מחלק את ${\displaystyle \ p^{n}m}$, אבל הוא שווה לגודל המסלול, ולכן זר ל- p ומחלק את ${\displaystyle \ m}$. יחד נובע מכאן שגודל המייצב שווה בדיוק ל- ${\displaystyle \ p^{n}}$, ואם כך הוא שווה ל- B; אבל אז B היא חבורת p-סילו.

כעת נסמן ב- S את אוסף חבורות p-סילו של G; המשפט הראשון טוען ש- S אינה ריקה. החבורה G פועלת על S לפי הצמדה.

טענה. אם תת-קבוצה T של S סגורה תחת הפעולה, אז גודלה שקול ל-1 מודולו p. הוכחה. ברור שכל חבורת p-סילו היא תת-חבורת-p מקסימלית. לכן, אם P,Q שתיהן חבורות p-סילו, אז PQ אינה תת-חבורה של G (אחרת סדרה היה שווה ל- ${\displaystyle \ {\frac {|P|\cdot |Q|}{|P\cap Q|}}}$, וזו חזקת-p גדולה מדי). מכאן יוצא ש- Q אינה יכולה לנרמל את P (אחרת ${\displaystyle \ PQ=QP}$ היא תת-חבורה).

כעת תהי P חבורת p-סילו; בתור תת-חבורה של G, גם P פועלת על S בהצמדה, ולכן היא פועלת גם על T. גדלי המסלולים תחת הפעולה הזו מחלקים כמובן את הגודל של P, ולכן הם כולם חזקות של p. יש שני סוגים של מסלולים: אלה שגודלם 1, ואלה שגודלם מתחלק ב- p. אם Q היא נקודה יחידה במסלול, אז P מנרמלת את Q, וזה בלתי אפשרי - אלא אם Q=P. כלומר, יש רק מסלול אחד שגודלו 1, והוא המסלול המכיל את P בלבד. גדלי שאר המסלולים מתחלקים ב- p, ולכן סכום הגדלים של כל המסלולים (שהוא כמובן הגודל של T) שקול ל-1 מודולו p.

הוכחת המשפט השלישי. מספיק לבחור T=S בטענה.

הוכחת המשפט השני. לפי הטענה, הגודל של כל מסלול שקול ל-1 מודולו p. אבל כך גם עבור האיחוד של שני מסלולים, אילו היו כאלה, וזה כמובן בלתי אפשרי. מכאן שיש בפעולה רק מסלול אחד, ובמלים אחרות זוהי פעולה טרנזיטיבית.