ניתוח שונות

בסטטיסטיקה, ניתוח שונות (באנגלית: Analysis of variance,‏ ANOVA) הוא אוסף מודלים סטטיסטיים שמטרתו לנתח את ההבדלים בין קבוצת ממוצעים. אוסף המודלים פותח על ידי הסטטיסטיקאי רונלד פישר. ANOVA מרחיב את מבחן טי ליותר משתי קבוצות, ולכן מועיל במיוחד עבור השוואה בין שלושה ממוצעים או יותר למובהקות סטטיסטית.

הנחות המודל

נניח כי ישנן k קבוצות שונות שנרצה להשוות ביניהן. בכל קבוצה יש ${\displaystyle n_{i}}$ תצפיות, כך שהתצפית ${\displaystyle Y_{i,j}}$ היא התצפית ה-j. אזי ${\displaystyle Y_{ij}~N(\mu +\alpha _{i},\sigma ^{2})}$ כלומר לכל קבוצה תוחלת שונה. נוכל לכתוב גם כי ${\displaystyle Y_{ij}=\mu +\alpha _{i}+\varepsilon _{i,j};\varepsilon _{i,j}~N(0,\sigma ^{2})}$

השערות המבחן יהיו:

${\displaystyle H_{0}:\alpha _{1}=..=\alpha _{k};H_{1}:elsewise}$

התפלגות הממוצעים הינה:${\displaystyle {\overline {Y}}_{i}~N(\mu +\alpha _{i},\sigma ^{2}/n_{i}){\overline {Y}}~N((\mu +\sum _{i=1}^{k}{n_{i}\cdot \alpha _{i}})/N,\sigma ^{2}/N)}$

חלוקת סכום הריבועים

נגדיר את סכומי vריבועים הבאים: עבור כל קבוצה i: ${\displaystyle SS_{i}=\sum _{j=1}^{n_{i}}(y_{i,j}-{\overline {Y}}_{i})^{2}}$

ובהתאם נגדיר: ${\displaystyle SSW=\sum _{i=1}^{k}SS_{i}}$ (סכום הריבועים בתוך הקבוצות)

סכום הריבועים בין הקבוצות:${\displaystyle SSB=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\cdot ({\overline {Y}}_{i}-{\overline {Y}})^{2}}$ וסה"כ סכומי הריבועים: ${\displaystyle SST=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{n_{i}}(Y_{i,j}-{\overline {Y}})^{2}}$

מפיתוח מתמטי נגיע לקשר ${\displaystyle SST=SSW+SSB}$

מבחן F

תחת השערת האפס, ${\displaystyle (SSB/(k-1))/(SSW/(N-k))~F_{k-1,N-k}}$ כאשר זוהי F זוהי התפלגות F.