G-מודול

G-מודול הוא חבורה אבלית M שעליה פועלת חבורה G באופן קומפטיבילי למבנה האבלי של M.‏ G-מודולים משמשים להגדרת קוהומולוגיה של חבורות.

הגדרה

תהי G חבורה ותהי M חבורה אבלית כך ש-G פועלת של M משמאל, כלומר:

${\displaystyle G\times M\to M\quad ;\quad (g,m)\mapsto g\cdot m}$

כך ש-${\displaystyle 1_{G}\cdot m=m}$ ולכל ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}$ ו-${\displaystyle m\in M}$ מתקיים ${\displaystyle g_{1}g_{2}\cdot m=g_{1}\cdot (g_{2}\cdot m)}$.

כדי ש-M תהייה G-מודול נדרוש שפעולת G מכבדת את המבנה החבורתי האבלי של M, כלומר

${\displaystyle \forall g\in G:\forall a,b\in M:g\cdot (a+b)=g\cdot a+g\cdot b}$.

במקרה זה אנו אומרים ש-M הוא G-מודול שמאלי. אם G פועלת על M מימין באופן דומה נקבל G-מודול ימני. את קטגוריית ה-G מודולים השמאליים מסמנים G-Mod ואת קטגוריית ה-G-מודולים הימניים מסמנים Mod-G. אלו הן קטגוריות אבליות.

תכונות בסיסיות

בסעיף זה נניח שכל ה-G-מודולים הם שמאליים. כל מה שנאמר כאן תקף גם ל-G-מודולים ימניים.

העתקה f : M → N תיקרא מורפיזם של G-מודולים או העתקה G-לינארית או G-הומומורפיזם אם היא שומרת על הפעולה של G (כלומר: G-equivariant). באופן מפורש:

${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$ ו-${\displaystyle f(g\cdot m)=g\cdot f(m)}$.

האוסף של G-מודולים שמאליים והמורפיזמים שלהם יוצרים קטגוריה אבלית G-Mod. ניתן לזהות אותה עם חוג החבורה ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$.

תת-G-מודול A של G-מודול M הוא תת-חבורה A ⊆ M כך ש-${\displaystyle G\cdot A\subseteq A}$, כלומר g·a ∈ A לכל g ∈ G ו- a ∈ A. במקרה כזה אפשר להגדיר את G-מודול המנה M/A כחבורת מנה עם הפעולה g·(m + A) = g·m + A.

דוגמאות

• G חבורה כלשהי, ${\displaystyle M=(\mathbb {Z} ,+)}$ ו-G פועלת טריוויאלית על M, כלומר: ${\displaystyle g\cdot z=z}$.
• ${\displaystyle G=\mathbf {GL} _{n}(F)}$ החבורה הלינארית הכללית (F שדה) ו-${\displaystyle M=F^{n}}$ מרחב וקטורי מעל F מממד n.
• G ו-M הן גם חבורות טופולוגיות. במקרה זה דורשים שהפעולה של G על M תהיה גם רציפה.