אינטגרל גאוסיאני

אינטגרל גאוסיאני (על שם המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס) הוא אינטגרל מסוים על פונקציית צפיפות של התפלגות נורמלית, כלומר:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx}

והכללותיו. באופן עקרוני, החלק הלא-טריוויאלי באינטגרל זה הוא האינטגרל

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int e^{-x^2}dx}

וברגע שיודעים לפתור אותו קל לפתור גם את האינטגרל הכללי יותר המופיע למעלה.

אינטגרל זה מופיע בתחומים רבים במתמטיקה ופיזיקה (בהם התפלגות נורמלית, התפלגות מקסוול-בולצמן, פונקציית השגיאה, אינטגרלי מסלול, מתנד הרמוני קוונטי ועוד) וניתן לחשבו במדויק בהנחה שגבולות האינטגרציה הם אינסופיים (אינטגרל לא-אמיתי).

גאוסיאן במשתנה אחד

הנוסחה הכללית עבור גאוסיאן במשתנה אחד היא כלדהלן:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\frac {b^{2}-4ac}{4a}},\quad a>0

הוכחת הנוסחה

את הנוסחה מוכיחים בשלושה שלבים:

מחשבים את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx}
מחשבים את $\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}dx$ באמצעות החלפת משתנה.
מחשבים את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-(ax^2+bx+c)}dx} באמצעות השלמה לריבוע.

שלב 1

כדי לחשב $I=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx$ , נכפול את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} באותו אינטגרל: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I^2=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-y^2}dy}

מחוקי אינטגרל כפול (משפט פוביני) וכפל אקספוננטים מקבלים כי $I^{2}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dx\,dy$ . נשים לב שזוהי אינטגרציה על כל המישור עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x-y} . נבצע החלפת משתנים לתיאור האינטגרציה בקואורדינטות קוטביות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (r,\phi)} כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r^2=x^2+y^2} ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi} הזווית בין עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} לציר X.

את אלמנט הנפח האינפיניטסימלי מחשבים באמצעות היעקוביאן של ההתמרה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dx\,dy=r\,dr\,d\phi} , ומקבלים כי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle I^{2}=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\phi } .

את החלק הזוויתי קל לחשב, שכן האינטגרנד לא תלוי בזווית. מקבלים כי

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I^2=\int\limits_0^\infty e^{-r^2}r\,dr\int\limits_0^{2\pi}d\phi=2\pi\int\limits_0^\infty e^{-r^2}r\,dr=\pi\int\limits_0^\infty e^{-r^2}2r\,dr}

כעת נשים לב כי ${\frac {d}{dr}}(r^{2})=2r$ ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {d}{dr}}e^{-r^{2}}=-e^{-r^{2}}2r} , ולכן $I^{2}=\pi \left[-e^{-r^{2}}\right]_{0}^{\infty }=\pi [0-(-1)]=\pi$ .

לוקחים שורש ריבועי חיובי (כי האינטגרנד חיובי), ומקבלים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I=\sqrt\pi} או לסיכום:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle I=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}}

שלב 2

מבצעים את החלפת המשתנים הבאה: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y^2=ax^2\ ,\ y=\sqrt{a}x\ ,\ dx=\frac{dy}{\sqrt a}} ואז עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}dx={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}dy={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}}

שלב 3

ההשלמה לריבוע:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -(ax^2+bx+c)=-a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{b^2}{4a}-c}

האינטגרציה על הריבוע נותנת ${\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$ ואילו הגורם הקבוע באקספוננט כופל אותו.

הערות נוספות

יש לציין שאינטגרל זה הוא פונקציה זוגית ולכן

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=2\int\limits_0^\infty e^{-x^2}dx}

ניתן לחשב את האינטגרל גם כאשר האינטגרנד נכפל בחזקה של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ,

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}dx&={\sqrt {\pi }}{\frac {(2n)!}{n!}}\left({\frac {a}{2}}\right)^{2n+1}\\\int \limits _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}dx&={\frac {n!}{2}}a^{2n+2}\end{aligned}}}

אינטגרל גאוסיאני במספר משתנים

אינטגרל של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} משתנים בתבנית בילינארית:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int e^{-\frac12A_{ij}x^ix^j}dx^n=\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}}}

כאשר $A$ היא מטריצה סימטרית חיובית לחלוטין.

אינטגרל גאוסיאני עם מקדם מדומה

כאשר המקדם של $x^{2}$ הוא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm i} עדיין אפשר לחשב את האינטגרל. השיטה הנכונה היא לבצע זאת באמצעות מסילה במישור המרוכב. מקבלים:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-ix^2}dx&=(1-i)\sqrt{\frac{\pi}{2}}\\\int\limits_{-\infty}^\infty e^{ix^2}dx&=(1+i)\sqrt{\frac{\pi}{2}}\end{align}}

קישורים חיצוניים

אינטגרל גאוסיאני, באתר MathWorld (באנגלית)
סרטון המדגים כיצד פותרים אינטגרל גאוסיאני (באנגלית)

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.