בלבול (קומבינטוריקה)

בקומבינטוריקה, בלבול (באנגלית: Derangement) הוא תמורה של אברי קבוצה, כך שאף אבר אינו מופיע במיקומו המקורי. במילים אחרות, בלבול הוא תמורה שאינה מכילה נקודות קבועות.

מספר הבלבולים של קבוצה בגודל ${\displaystyle n}$ , בדרך כלל נכתב ${\displaystyle D_{n},d_{n},!n}$ , נקרא גם "מספר de Montmort".^[1] לפונקציה זו אין סימון מוסכם ולעיתים משתמשים ב־${\displaystyle {\text{¡}}n}$ במקום ב־${\displaystyle !n}$ .^[2]

הראשון שהתייחס לבעיה של ספירת הבלבולים היה פייר ריימונד דה מונמור^[3], בשנת 1708; הוא פתר אותה בשנת 1713, בערך באותו זמן שעשה זאת ניקולאס ברנולי.

השאלה האם קבוצת תמורות מכילה בלבולים כלשהם היא בעיית NP שלמה.^[4]

דוגמה

מתוך כל התמורות של הקבוצה {A,B,C,D} יש רק 9 בלבולים (מסומנים בכתב כחול נטוי). בשאר התמורות של הקבוצה בת 4 האברים, לפחות תלמיד אחד מקבל את המבחן שלו בחזרה (מסומנות בכתב אדום מודגש).

נניח שמורה בוחן 4 תלמידים ${\displaystyle A,B,C,D}$ ורוצה שכל תלמיד יבדוק מבחן של אחד מעמיתיו, כאשר אף תלמיד לא יבדוק את המבחן של עצמו. בכמה דרכים יכול המורה לחלק את המבחנים לתלמידיו כדי שאלה יבדקו אותם? מתוך 24 = !4 תמורות אפשריות לחלוקת המבחנים:

יש רק 9 בלבולים (מסומנים בכתב כחול נטוי). בשאר התמורות של הקבוצה בת 4 האברים, לפחות תלמיד אחד מקבל את המבחן שלו בחזרה (מסומנות בכתב אדום מודגש).

גרסה נוספת של הבעיה עוסקת במספר הדרכים להכניס ${\displaystyle n}$ מכתבים, שכל אחד מהם ממוען לאדם אחר, ל־${\displaystyle n}$ מעטפות שכבר כתובות עליהן כתובות, כך שאף מכתב לא יוכנס למעטפה הנכונה.

ספירת בלבולים

הגרף הכחול הוא מספר התמורות, ואילו הגרף האדום הוא מספר הבלבולים האפשריים ל־${\displaystyle n}$ אברים. כלומר, שאף אבר לא נמצא במקומו המקורי.

טבלת ערכים
${\displaystyle n}$	תמורות (${\displaystyle n!}$)	בלבולים (${\displaystyle !n}$)	עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {!n}{n!}}}
0	1	1	1
1	1	0	0
2	2	1	0.5
3	6	2	1/3
4	24	9	0.375
5	120	44	11/30
6	720	265	≈ 0.3680555
7	5,040	1854	≈ 0.367857142
8	40,320	14833	≈ 0.367881944
9	362880	133496	≈ 0.3678791887
10	3628800	1334961	≈ 0.3678794643
11	39916800	14684570	≈ 0.3678794392
12	479001600	176214841	≈ 0.3678794413
13	6227020800	2290792932	≈ 0.3678794412
14	87178291200	32071101049	≈ 0.3678794412
15	1307674368000	481066515734	≈ 0.3678794412
16	20922789888000	7697064251745	≈ 0.3678794412
17	355687428096000	130850092279664	≈ 0.3678794412

נניח שיש ${\displaystyle n}$ אנשים ממוספרים ${\displaystyle 1,\ldots ,n}$ . וכנגדם ${\displaystyle n}$ כובעים ממוספרים. עלינו למצוא את מספר הדרכים בהן אף אחד לא מקבל את הכובע הממוספר כמוהו. נניח כי האדם הראשון לוקח את הכובע הממוספר ב־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} מתוך ${\displaystyle n-1}$ אפשרויות. כעת יש שתי אפשרויות – תלוי אם האדם ה־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} לוקח את כובע 1:

1. האדם ה־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} לא לוקח את כובע 1. מקרה זה שקול לפתרון הבעיה עם ${\displaystyle n-1}$ אנשים ו־${\displaystyle n-1}$ כובעים: לכל אחד מבין ${\displaystyle n-1}$ האנשים יש בדיוק בחירה אחת אסורה מבין שאר ${\displaystyle n-1}$ הכובעים (לאדם ה־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} אסור לבחור בכובע 1).
2. האדם ה־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} לוקח את כובע 1. עכשיו הבעיה מצטמצמת ל־${\displaystyle n-2}$ אנשים ו־${\displaystyle n-2}$ כובעים.

מכאן ניתן להגיע לנוסחה הבאה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle !n=(n-1)\bigl(!(n-1)+!(n-2)\bigr)}

עם תנאי ההתחלה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle !0=1,!1=0} .

אותה נוסחת נסיגה עובדת גם עבור עצרת, עם תנאי התחלה שונים: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0!=1!=1}

${\displaystyle n!=(n-1){\bigl (}(n-1)!+(n-2)!{\bigr )}}$

וזה עוזר להוכיח את הגבול עם e בהמשך.

כמו כן, הנוסחאות להלן ידועות גם כן:^[5]

${\displaystyle !n=n!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}=\left[{\frac {n!}{e}}\right]=\left\lfloor {\frac {n!}{e}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,\quad n\geq 1}$

כאשר ${\displaystyle [x]}$ פונקציית הקיטום (מעגלת למספר השלם הקרוב) ו־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lfloor x\rfloor} פונקציית הרצפה (מעגלת למספר השלם הנמוך).

${\displaystyle {\begin{aligned}!n&={\bigl \lfloor }(e+e^{-1})n!{\bigr \rfloor }-\lfloor en!\rfloor ,\quad n\geq 2\\&=n!-\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot !(n-k)\end{aligned}}}$

להלן נוסחה נוספת:^[6]

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle !n=n[!(n-1)]+(-1)^n}

ראו טבלה משמאל עבור ערכי הסדרה A000166 ב־OEIS.

שיטה ידועה לספירת בלבולים משתמשת בעקרון ההכלה וההפרדה: ראשית לספור את כל התמורות, לחסר את אלה שמיקומו אחד האברים נשאר בהן קבוע ולבצע תמורות של שאר האברים, להוסיף בחזרה את התמורות בהן שני אירים שומרים על מיקומם המקורי וכדומה.

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle !n=n!-\binom{n}{1}(n-1)!+\binom{n}{2}(n-2)!-\cdots\pm\binom{n}{n}0!=n!+\sum_{k=1}^n(-1)^k\binom{n}{k}(n-k)!}

קישורים חיצוניים

• Baez, John (2003). "Let's get deranged!". 
• Bogart, Kenneth P.; Doyle, Peter G. (1985). "Non-sexist solution of the ménage problem". 
• Dickau, Robert M. "Derangement diagrams". Mathematical Figures Using "Mathematica". 
• Hassani, Mehdi. "Derangements and Applications". Journal of Integer Sequences (JIS), Volume 6, Issue 1, Article 03.1.2, 2003. 
• Weisstein, Eric W. "Derangement". MathWorld–A Wolfram Web Resource. 

הערות שוליים