פונקציית הערך השלם

הגרף של פונקציית הערך השלם (פונקציית רצפה)

הגרף של פונקציית תקרה

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציית הערך השלם היא פונקציה המחזירה לכל מספר ממשי ${\displaystyle x}$ מספר שלם בשתי אפשרויות:

• פונקציית רִצפה מחזירה לכל מספר ממשי ${\displaystyle x}$ את המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל-${\displaystyle x}$ (עיגול כלפי מטה). הפונקציה מסומנת ${\displaystyle \lfloor x\rfloor ,[x]}$ או (x)‏floor.

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} :n\geq x\}}$

• פונקציית תקרה מחזירה לכל מספר ממשי ${\displaystyle x}$ את המספר השלם הקטן ביותר שגדול או שווה ל-${\displaystyle x}$ (עיגול כלפי מעלה). הפונקציה מסומנת ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ או (x)‏ceiling.

${\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} :n\geq x\}}$

${\displaystyle x}$	${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$	${\displaystyle \lceil x\rceil }$
${\displaystyle 2.7}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle -2.1}$	${\displaystyle -3}$	${\displaystyle -2}$
${\displaystyle -2}$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle -2}$

תכונות

• לכל ${\displaystyle x}$ ממשי מתקיים:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor &\leq x<\lfloor x\rfloor +1\\\lceil x\rceil -1&<x\leq \lceil x\rceil \\\lfloor x\rfloor &\leq x\leq \lceil x\rceil \end{aligned}}}$

• הקשר בין הפונקציות:

${\displaystyle \lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor }$

• הפונקציות אידמפוטנטיות:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }={\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }=\lfloor x\rfloor \\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }={\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }=\lceil x\rceil \end{aligned}}}$

• ${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&:x\in \mathbb {Z} \\-1&:x\notin \mathbb {Z} \end{cases}}\\\lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&:x\in \mathbb {Z} \\1&:x\notin \mathbb {Z} \end{cases}}\end{aligned}}}$
• לכל ${\displaystyle x}$ ממשי ולכל ${\displaystyle n}$ שלם מתקיים:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor =\lfloor x\rfloor +n\\\lceil x+n\rceil =\lceil x\rceil +n\end{aligned}}}$

• עיגול למספר השלם הקרוב ביותר ל-${\displaystyle x}$ ניתן על ידי הנוסחה ${\displaystyle {\bigl \lfloor }x+0.5{\bigr \rfloor }}$ .

• לכל ${\displaystyle n}$ שלם מתקיים:

${\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil =n}$

פונקציות דומות

פונקציית Trunc

ערך מורחב – פונקציית קיטום

הגרף של פונקציית Trunc

במדעי המחשב מוכרת פונקציה בשם Trunc, קיצור של Truncate. רמז לתיאור הציורי שלה כפונקציה שלוקחת מספר ממשי ו"מקצצת" את החלק השברי שלו ומשאירה רק את החלק השלם. פונקציה זו מתנהגת כמו פונקציית רצפה עבור מספרים חיוביים, וכפונקציית תקרה עבור שליליים. שלוש הפונקציות מקבלות ערך שווה עבור כל המספרים השלמים.

ראו גם

• עיגול (אריתמטיקה)

קישורים חיצוניים