נגזרת (אלגברה)

באלגברה, נגזרת פורמלית (או סתם נגזרת) היא פונקציה אדיטיבית ${\displaystyle \ D:R\rightarrow R}$מחוג ${\displaystyle R}$ אל עצמו, המקיימת את חוק לייבניץ לנגזרת של המכפלה, עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ D(ab)=aD(b)+D(a)b} . הנגזרת הרגילה, כמו גם נגזרות כיווניות, מהוות נגזרת פורמלית.

מחוק לייבניץ נובע, באינדוקציה, ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ D^n(ab) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}D^k(a)D^{n-k}(b)} .

אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ D_1,D_2} נגזרות של חוג R, אז גם סוגרי לי שלהן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [D_1,D_2] = D_1 \circ D_2 - D_2 \circ D_1} היא נגזרת. עובדה זו הופכת את אלגברת הנגזרות ${\displaystyle \ \operatorname {Der} (R)}$ (שאבריה הם הנגזרות של R) לאלגברת לי, ומקשרת את תורת המבנה של חוגים כלליים (לרבות לא אסוציאטיביים) לתורת המבנה של אלגברות לי.

דוגמה לנגזרת פורמלית היא הפונקציה הגוזרת פולינומים לפי הכללים הרגילים של חשבון דיפרנציאלי, כלומר: ${\displaystyle D(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}...+a_{n}x^{n})=a_{1}+2a_{2}x+...+na_{n}x^{n-1}}$. זוהי נגזרת פורמלית על חוג הפולינומים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R = K[x]} באשר K הוא שדה. הנגזרת הפורמלית של הפולינומים שימושית בתורת גלואה: פולינום אי-פריק הוא פולינום ספרבילי אם ורק אם הנגזרת שלו אינה מתאפסת.

נגזרת של אלגברות

יהי A חוג, עם נגזרת עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D : A \rightarrow A} . איבר שהנגזרת שלו היא אפס נקרא סקלר. הנגזרת מגדירה את חוג הסקלרים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle K=\{a\in A:D(a)=0\}} , שהוא אכן תת-חוג עם יחידה של A (ואפילו סגור רציונלית: ההפכי של סקלר שהוא הפיך ב-A הוא בעצמו סקלר). התוצאה היא שאפשר לראות את A כאלגברה מעל חוג הסקלרים, והנגזרת מקיימת את החוק ${\displaystyle \ D(\alpha x)=\alpha D(x)}$ לכל סקלר ${\displaystyle \ \alpha }$.

נניח, אם כן, ש-A אלגברה קומוטטיבית מעל שדה K. מסמנים ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Der}_K(A)} את האלגברה של הנגזרות של A שכל אברי K הם סקלרים שלהן. זהו מודול מעל A, לפי הפעולה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a \delta)(x) = a \delta(x)} . חוג האופרטורים הדיפרנציאליים הוא תת-החוג ${\displaystyle \ \Delta (A)}$ של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{End}_K(A)} הנוצר על ידי A ועל ידי הנגזרות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Der}_K(A)} ; בתור מודולים מעל ${\displaystyle \ \Delta (A)}$, אפשר לפרק ${\displaystyle \ \Delta (A)=A\oplus \Delta (A)\operatorname {Der} _{K}(A)}$.

בניה זו מכלילה את הדוגמה החשובה של אלגברת וייל, שהיא ${\displaystyle \ A_{n}(K)=\operatorname {Der} _{K}(K[x_{1},\dots ,x_{n}])}$.

גזירה אוניברסלית

כפי שגוזרים אלגברה קומוטטיבית A עם ערכים ב-A, אפשר לגזור את A עם ערכים בכל מודול M מעל A (נגזרת כזו היא פונקציה אדיטיבית ${\displaystyle \ D:A\rightarrow M}$ המקיימת את האקסיומה עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ D(ab)=aD(b)+D(a)b} ). גם אוסף הנגזרות האלה, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{Der}_K(A,M)} , הוא מודול מעל A. מודול הדיפרנציאלים (האוניברסלי) הוא המודול ${\displaystyle \ \Omega }$ הנוצר באופן חופשי על ידי הסמלים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ da} לכל ${\displaystyle \ a\in A}$, מודולו היחסים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ d\alpha = d(a+b)-da-db = d(ab)-a(db)-b(da)=0} לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha \in K} ולכל ${\displaystyle \ a,b\in A}$. הפונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ d:A\rightarrow \Omega } המוגדרת לפי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ d(a)=da} היא אכן גזירה; וכל גזירה עם מקדמים במודול M מתפצלת דרכה באופן יחיד. למעשה, לכל מודול M יש איזומורפיזם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Hom}_A(\Omega(A),M) \stackrel{\cong}{\rightarrow} \operatorname{Der}_K(A,M)} , ובפרט עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Der}_K(A) \cong \operatorname{Hom}_A(\Omega(A),A)} . מכאן ברורה החשיבות של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Omega = \Omega(A)} בהבנת הנגזרות של A. במקרה שבו A הוא חוג הפונקציות על יריעה, מודול הדיפרנציאלים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Omega = \Omega(A)} משחק תפקיד יסודי בגישה האלגברית לגאומטריה דיפרנציאלית.

מקורות

• McConnel-Robson, Noncommutative Noetherian Rings, פרק 15.

ראו גם

• אלגברה דיפרנציאלית