נגזרת כיוונית

במתמטיקה, הנגזרת הכיוונית היא ערך המייצג את קצב השינוי של פונקציית רבת־משתנים בכיוון של וקטור נתון. לכן זוהי הכללה של נגזרת חלקית, שבה הכיוון הוא תמיד במקביל לאחד מהצירים הראשיים.

הגדרה

הנגזרת הכיוונית של פונקציה סקלרית ${\displaystyle f({\vec {x}})=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ לאורך וקטור ${\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ היא הפונקציה המוגדרת על ידי הגבול

${\displaystyle D_{\vec {v}}f=\lim _{h\to 0}{\frac {f({\vec {x}}+h{\vec {v}})-f({\vec {x}})}{h\|{\vec {v}}\|}}}$

אם הפונקציה היא דיפרנציאבילית, ניתן לכתוב אותה בעזרת הגרדיאנט ${\displaystyle \nabla (f)}$ של ${\displaystyle f}$ באמצעות

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{\vec v}{f}=\nabla(f)\cdot\vec v}

כאשר ${\displaystyle \cdot }$ מציין מכפלה סקלרית. בכל נקודה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} , הנגזרת הכיוונית של ${\displaystyle f}$ מייצגת את קצב השינוי של ${\displaystyle f}$ לאורך עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec v} בנקודה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} .

יש לשים לב שעבור חישוב נגזרת כיוונית על ידי גבול, אין צורך לנרמל את הווקטור, כלומר ${\displaystyle \|{\vec {v}}\|=1}$ , אך נרמול הווקטור הכרחי עבור חישוב בעזרת הגרדיאנט.