היפרבולה

מערכת קואורדינטות קרטזית

(המרכז (המוקד): עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (h,k)} )

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}&=1\\\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}&=1\end{align}}

בשתי משוואות אלה, ${\displaystyle a}$ הציר הראשי ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} הציר המשני, אולם ייתכן ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} יהיה גדול מ-${\displaystyle a}$ .

במקרה הפרטי של היפרבולה קנונית (כלומר, שהמוקד נמצא בראשית הצירים – עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (0,0)} ), מתקבלת הנוסחה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}

ניתן להבחין בדמיון הרב בין נוסחה זו לנוסחתה של אליפסה קנונית עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} .

האקסצנטריות נקבעת על פי המשוואה:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}}

היפרבולה בה צירי הקואורדינטות זהים לצירי ההיפרבולה:

${\displaystyle (x-h)(y-k)=c}$

משוואות האסימפטוטות הן:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&={\frac {b}{a}}x\\y&=-{\frac {b}{a}}x\end{aligned}}}$

מערכת קואורדינטות קטבית

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=a\sec(2t)\\r^{2}&=-a\sec(2t)\\r^{2}&=a\csc(2t)\\r^{2}&=-a\csc(2t)\end{aligned}}}$

הצגה פרמטרית (לענף הימני)

${\displaystyle {\begin{matrix}x=a\cosh(\theta ),y=b\sinh(\theta )\\x=a\tan(\theta ),y=b\sec(\theta )\end{matrix}}}$

השטח תחת ההיפרבולה

האינטגרל של ההיפרבולה "הפשוטה" מהצורה: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y^2-x^2=1} הוא:

${\displaystyle \int {\sqrt {1+x^{2}}}dx={\frac {\ln \left(x+{\sqrt {1+x^{2}}}\right)+x{\sqrt {1+x^{2}}}}{2}}={\text{arsinh}}(x)+{\frac {x{\sqrt {1+x^{2}}}}{2}}}$.

ניתן להגיע לתוצאה זאת באמצעות טכניקה אלגנטית של שינוי מערכת קואורדינטות מ-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x,y)} למערכת קואורדינטות ${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$ המסובבת בזווית 45 מעלות ביחס למערכת הצירים ${\displaystyle xy}$ ומקיימת עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle y^{*}={\frac {C}{x^{*}}}} .

טרנספורמציית קואורדינטות זו מתאפשרת אודות לעובדה שהפונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\frac1x} היא למעשה היפרבולה, מה שמסביר את הופעת הלוגריתם בתוצאת האינטגרציה של השטח תחת ההיפרבולה (אינטגרל של ${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$ הוא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(x)} ). האבר הנוסף בתוצאה נובע מכך שהשטח תחת ההיפרבולה מורכב גם ממשולש ישר-זווית "שאריתי" שניצביו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,\sqrt{1+x^2}} .