הכפלת הקובייה

הכפלת הקובייה היא אחת מהבעיות הגאומטריות של ימי קדם. הבעיה נוסחה על-ידי היוונים הקדמוניים, ונשארה פתוחה במשך מאות שנים, עד שהוכחה במאה ה-19 כבלתי-פתירה באמצעות תורת גלואה.

הבעיה היא: "כיצד ניתן להכפיל נפח של קובייה נתונה באמצעות סרגל ומחוגה?" כלומר, בהינתן מקצוע של קובייה, כיצד ניתן לבנות את המקצוע של הקובייה הכפולה ממנה בנפחה. בעיה זאת שקולה לבניית המספר ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ .

היסטוריה

הבעיה מבוססת על סיפור לפיו תושבי אתונה ניסו להכפיל נפח של מזבח בצורת קוביה. כשהכפילו את הגובה של הדופן התברר להם שהם מכפילים בעצם פי 8., שצורתו הייתה קובייה. התושבים ניסו לעשות זאת על-ידי הכפלת אורך המקצוע, אך פתרון זה הוא שגוי משום שלמעשה הוא מכפיל את נפח הקובייה פי 8.

באופן כללי, אם מגדילים את המקצוע פי ${\displaystyle a}$ אזי נפח הקובייה גדל פי ${\displaystyle a^{3}}$ . לכן כדי להכפיל את נפח הקובייה יש להגדיל את הצלע פי ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ . לאחר שהבינו את הבעיה, הם ניסו למצוא דרך לבנות קובייה כפולה בנפחה, אך ללא הצלחה.

התפתחות חשובה בחיפוש הפתרון התרחשה כאשר מצא היפוקרטס מכיוס ניסוח חילופי: נתון קטע, יש למצוא שני קטעים כך שהראשון ממוצע גאומטרי של הקטע הנתון ושל השני, ואילו השני ממוצע גאומטרי של הראשון ושל קטע כפול מהקטע הנתון. כלומר, בהינתן קטע באורך ${\displaystyle a}$ יש למצוא ${\displaystyle b,c}$ כך ש:

${\displaystyle a:b=b:c=c:2a}$

קל לראות כי ${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\sqrt[{3}]{2}}}$ . הוא ומנכמוס הראו גם שניתן לפתור בעיה זאת על-ידי מציאת חיתוך של פרבולה והיפרבולה או שתי היפרבולות.

בשנת 1837 הוכיח פירה וונצל כי ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ איננו שייך לשדה המספרים הניתנים לבנייה, ולפיכך הבעיה איננה פתירה.

הוכחה

ניתן להראות שכל המספרים הניתנים לבנייה שייכים לשדה המהווה הרחבה מממד ${\displaystyle 2^{n}}$ (כאשר ${\displaystyle n}$ טבעי) של שדה המספרים הרציונליים, כיוון שחיתוך של שני ישרים משאיר את המספר באותו הממד, ואילו חיתוך של ישר עם מעגל או שני מעגלים יוצר הרחבה ריבועית.

נניח בשלילה כי ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ניתן לבנייה בסרגל ומחוגה, אז הוא צריך להיות שייך לשדה כאמור (נסמנו ${\displaystyle F}$). שדה זה חייב להכיל את השדה ${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt[{3}]{2}}{\bigr )}}$ , שהוא הרחבה ממד 3 של שדה המספרים הרציונליים. לכן מתקיים:

${\displaystyle [F:\mathbb {Q} ]={\bigl [}F:\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt[{3}]{2}}{\bigr )}{\bigr ]}{\bigl [}\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt[{3}]{2}}{\bigr )}:\mathbb {Q} {\bigr ]}}$

${\displaystyle 2^{n}={\bigl [}F:\mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt[{3}]{2}}{\bigr )}{\bigr ]}\cdot 3}$

זה בלתי-אפשרי, כי 3 איננו גורם של ${\displaystyle 2^{n}}$ . סתירה.

קישורים חיצוניים

• הכפלת הקובייה