הפרש סימטרי

דיאגרמת ון של ההפרש הסימטרי של A ו-B. הפרש סימטרי הוא האיחוד ללא החיתוך:
${\displaystyle ~\setminus ~}$ ${\displaystyle ~=~}$

הפרש סימטרי היא פעולה בינארית על קבוצות. שעבור שתי קבוצות ${\displaystyle \ A}$ ו-${\displaystyle \ B}$ היא מחזירה קבוצה ${\displaystyle \ C}$ המורכבת מכל איברי ${\displaystyle \ A}$ שלא שייכים ל-${\displaystyle \ B}$ וכל איברי ${\displaystyle \ B}$ שלא שייכים ל-${\displaystyle \ A}$ - כלומר, היא כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.

הגדרה

ההפרש הסימטרי, המסומן ${\displaystyle \ \Delta }$ מוגדר כדלהלן:

${\displaystyle \ A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}$

תכונות

• הפעולה היא פעולה קומוטטיבית: ${\displaystyle \ A\Delta B=B\Delta A}$
• זוהי פעולה אסוציאטיבית: ${\displaystyle \ (A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C)}$

פעולת ההפרש הסימטרי היא המקבילה בתורת הקבוצות לפעולת ה-XOR באלגברה בוליאנית.

אם X קבוצה, אז קבוצת החזקה ${\displaystyle \ P(X)}$, עם הפעולות חיתוך (בתפקיד 'כפל') והפרש סימטרי (בתפקיד 'חיבור'), מהווה חוג קומוטטיבי, המקיים בנוסף את התכונה ${\displaystyle \ x^{2}=x}$ לכל x.

ראו גם

• הפרש של קבוצות
• איחוד (מתמטיקה)
• חיתוך (מתמטיקה)
• מונחים בתורת הקבוצות
• xor

קישורים חיצוניים

ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.

• הפרש סימטרי, באתר MathWorld (באנגלית)