חבורת קוקסטר

בתורת החבורות, חבורת קוקסטר היא חבורה (סופית או אינסופית), בעלת הצגה פשוטה במיוחד, הכוללת הנחות רק על הסדר של היוצרים, שהוא 2, ועל הסדר של מכפלות של זוגות של יוצרים. מתברר שחבורות כאלה נוצרות על ידי שיקופים במרחב וקטורי (שלו מתאימה תבנית ריבועית, המגדירה לעיתים קרובות מרחב מכפלה פנימית), ובדרך זו הן מתקשרות לתחומים רבים ומרכזיים במתמטיקה: אלגברות לי, חבורות אלגבריות, קומבינטוריקה וגאומטריה.

הגדרה

חבורת קוקסטר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W} היא חבורה הנוצרת על ידי קבוצה סופית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ S=\{s_1,\dots,s_n\}} , בכפוף ליחסים מהצורה ${\displaystyle \ s_{i}^{2}=1}$ ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (s_is_j)^{m_{ij}}=1} בלבד. רושמים:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle W=\langle s_{1},...,s_{n}\mid (s_{i}s_{j})^{m_{ij}}=1\rangle }

כאשר:

• לכל i מתקיים ${\displaystyle m_{ii}=1}$, כלומר היחס עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i s_i = s_i^2 = 1} .
• אם אין יחסים בין עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i} ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_j} נהוג לסמן זאת עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (s_{i}s_{j})^{\infty }=1} , כלומר: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m_{ij} = \infty} .
• נשים לב שאם ${\displaystyle m_{ij}=2}$ אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i s_j = s_j s_i} (כלומר: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i} ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_j} ומתחלפים).

הזוג עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (W,S)} נקרא מערכת קוקסטר. קבוצת היוצרים של חבורה אינה נקבעת באופן ייחודי ולחבורה יכולות להיות מספר מערכות קוקסטר לא שקולות.

את החזקות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m_{ij}} אפשר לאסוף במטריצת קוקסטר, שהיא מטריצה סימטרית עם ערכים טבעיים (או אינסוף) בה כל הערכים על האלכסון שווים ל-1 וכל שאר הערכים גדולים מ-1. הערך אינסוף בנקודה (i,j) מציין שאין יחס מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (s_is_j)^m=1} .

הקשר לשיקופים

על-פי ההגדרה, חבורת קוקסטר נוצרת על ידי קבוצה סופית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ S=\{s_1,\dots,s_n\}} של איברים מסדר 2, בכפוף ליחסים מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (s_is_j)^{m_{ij}}=1} בלבד. לדוגמה, כאשר מדובר בשני יוצרים, היחסים הם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ s_1^2 = s_2^2 = (s_1s_2)^m = 1} , בדיוק אלו של החבורה הדיהדרלית שסדרה 2m. כדי להבין את המבנה הגאומטרי, נעיר שאם s ו- t הם שיקופים בניצב לזוג ישרים שהזווית ביניהם היא ${\displaystyle \ \pi /m}$, אז ${\displaystyle \ (st)^{m}=1}$.

היסטוריה

כמושג עצמאי, חבורות קוקסטר נולדו רק בשנות ה-60, כאשר ז'אק טיץ הבחין שההגדרה המופשטת באמצעות יוצרים ויחסים מספיקה כדי לקבל את כל המבנה הגאומטרי השייך בדין לחבורות הנוצרות על ידי שיקופים. הוא קרא להן על-שם ה.ס.מ. קוקסטר, שעסק בחבורות של שיקופים כשלושים שנה קודם לכן, ומיין את כל החבורות הדיסקרטיות הנוצרות על ידי שיקופים ופועלות על המרחב האוקלידי (מממד כלשהו).

לחבורות הנוצרות על ידי שיקופים יש היסטוריה מתמטית ארוכה. החלוץ בכיוון זה היה פרדיננד מביוס, שב-1852 מצא את כל החבורות הסופיות הנוצרות על ידי שיקופים ופועלות על המרחב התלת-ממדי. ב-1890 מיינו קילינג ואלי קרטן את אלגברות לי הפשוטות למחצה, במונחים של מערכות שורשים. ב-1925 הראה אנדרה וייל שחבורת הסימטריות של מערכת שורשים היא חבורה סופית, הנוצרת על ידי שיקופים במרחב שבו השורשים מוגדרים. בכל המקרים האלה מדובר היה בשיקופים במרחב האוקלידי, ביחס לעל-מישורים במובן הרגיל.

טיץ הוכיח שאם S היא קבוצת היוצרים של חבורת קוקסטר, אז לכל מטריצה m של סדרים אפשר להגדיר על המרחב עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R}^{|S|}} תבנית ריבועית, שביחס אליה החבורה פועלת כחבורת איזומטריות, כאשר היוצרים הם שיקופים (בפרט, לחבורת קוקסטר יש הצגה לינארית נאמנה מממד סופי).

התוצאה המרכזית שהתקבלה בחקר חבורות קוקסטר היא המיון השלם (במונחי דיאגרמות דינקין) של חבורות קוקסטר סופיות, של חבורות קוקסטר אפיניות, ושל חבורות קוקסטר היפרבוליות. במקביל, נלמדו מבנים מתמטיים רבים המוגדרים עבור חבורת קוקסטר נתונה, ובהם אלגברת הקה מתאימה, פולינומי קשדן-לוסטיג וסדר ברוה של החבורה. כל אלה יצרו קשרים הדוקים בין חבורות קוקסטר לתורה של אלגברות לי, לתורה הקומבינטורית והגאומטרית של בניינים, לקומבינטוריקה בכלל, ולתורת החבורות הגאומטרית.

דוגמאות

חבורת התמורות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ S_n} נוצרת על ידי החילופים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (1,2), (2,3), \dots, (n-1,n)} . קל לראות שהסדר של מכפלת שני חילופים הוא 2 אם הם זרים, ו- 3 אם אינם זרים. בו-בזמן, החבורה פועלת על המרחב האוקלידי ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}}$ בדרך של פעולה על האינדקסים, ובהצגה זו (הקרויה "ההצגה הטבעית" של החבורה הסימטרית) החילופים פועלים כשיקופים. מן ההצגה הזו של החבורה הסימטרית כחבורת קוקסטר אפשר לראות שהיחסים על מכפלות החילופים מגדירים אותה בשלמות. למרבה הבלבול, לדיאגרמת דינקין המתקבלת קוראים, מסיבות היסטוריות, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A_{n-1}} , וכך יש ל"חבורת קוקסטר מטיפוס עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A_{n-1}} " תת-חבורה מאינדקס 2 (חבורת התמורות הזוגיות), שאותה מסמנים ב- ${\displaystyle \ A_{n}}$.

החבורה מטיפוס עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A_{n-1}} היא תת-חבורה (מאינדקס עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2^{n-1}} ) בחבורת קוקסטר מטיפוס ${\displaystyle \ D_{n-1}}$, וזו היא תת-חבורה (מאינדקס 2) של החבורה מטיפוס עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ B_{n-1}} . את האחרונה אפשר לראות כתת-חבורה של החבורה הסימטרית ${\displaystyle \ S_{2n}}$, הפועלת על המספרים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{-1,\dots,-n,1,\dots,n\}} , עם התנאי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sigma(-i)=-\sigma(i)} .

ראו גם

• חבורת ארטין