מרחב מכפלה פנימית

באלגברה לינארית, מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב וקטורי, עבורו מוגדרת פעולה בינארית בין כל שני איברים במרחב, המכונה מכפלה פנימית.

מכפלה פנימית היא פונקציה, הפועלת על זוג איברים מתוך מרחב הנתון, ומחזירה סקלר מעל השדה הנתון. בעזרתה של מכפלה זו, ניתן להכליל מושגים של אורך ושל זווית.

הגדרה פורמלית

יהי ${\displaystyle \,V}$ מרחב וקטורי מעל השדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$, כאשר ${\displaystyle \mathbb {F} }$ הוא שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים. פונקציה ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow \mathbb {F} }$ תיקרא מכפלה פנימית על המרחב אם היא מקיימת את התכונות הבאות:

• אדיטיביות ברכיב הראשון:

${\displaystyle \forall a,b,c\in V:\langle a+b,c\rangle =\langle a,c\rangle +\langle b,c\rangle }$

• הומוגניות ברכיב הראשון:

${\displaystyle \forall a,b\in V,\lambda \in \mathbb {F} :\langle \lambda a,b\rangle =\lambda \langle a,b\rangle }$

• הרמיטיות (מעל הממשיים - סימטריות):

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle =\overline{\langle y,x\rangle}}

• חיוביות לחלוטין (אי-שליליות וממשיות):

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall x \in V \ \langle x,x\rangle\ge 0 } ושוויון קיים אם ורק אם ${\displaystyle \ x=0}$

נשים לב לכמה דברים:

• תכונת החיוביות דורשת שמכפלת וקטור בעצמו תהיה ניתנת להשוואה על ידי יחס סדר. על המרוכבים לא מוגדר יחס סדר שכזה, אלא רק על הממשיים, מכאן שעל המכפלה הזו להחזיר תמיד מספר ממשי. תכונת ההרמיטיות מבטיחה זאת:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle x,x\rangle =\overline{\langle x,x\rangle}} פירושו כי ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$ הוא מספר ממשי.

• האדיטיביות ניתנת להכללה באמצעות ההרמיטיות גם לרכיב השני. לעומת זאת ההומוגניות תישמר רק עד כדי צמוד מרוכב - כאשר מוציאים סקלר מהרכיב השני במכפלה הפנימית, יש להצמיד אותו:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle x,\lambda y\rangle =\overline{\lambda}\langle x,y\rangle}

• מההומוגניות נובע כי תמיד מתקיים: ${\displaystyle \langle 0,x\rangle =\langle 0\cdot x,x\rangle =0\cdot \langle x,x\rangle =0}$

מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית ייקרא מרחב מכפלה פנימית.

שימושים

בעזרת המכפלה הפנימית אפשר, בין היתר, להגדיר את מושג הנורמה המהווה הכללה של האורך מהמרחב האוקלידי: נורמה מוגדרת כגודל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}} בזכות תכונת החיוביות גודל זה הוא תמיד ממשי.

ניתן גם להכליל את מושג הניצבות: שני וקטורים הם אורתוגונליים אם ורק אם המכפלה הפנימית שלהם שווה 0: ${\displaystyle \langle x,y\rangle =0}$ ומסמנים ${\displaystyle \,x\perp y}$. ביתר כלליות, ניתן להגדיר זווית בין וקטורים בצורה הבאה: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{angle}(x,y) = \arccos \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \cdot \|y\|}} . ניתן להראות שהארכקוסינוס תמיד מוגדר בעזרת אי-שוויון קושי-שוורץ.

הכללה של מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב הילברט. זהו מרחב מכפלה פנימית שהוא גם מרחב טופולוגי שלם ביחס למטריקה המושרית מהמכפלה הפנימית (כלומר: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(x,y) = \sqrt{ \langle x - y , x - y \rangle }} ).

דוגמאות למכפלות פנימיות

• יהי ${\displaystyle V=\{{\vec {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n})|x_{i}\in \mathbb {F} \}=\mathbb {F} ^{n}}$ מרחב וקטורי.
  • אם ${\displaystyle \ \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ אזי המכפלה הסקלרית הבאה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lang \vec{x} , \vec{y} \rang = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n } היא מכפלה פנימית.
  • אם ${\displaystyle \ \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ אזי המכפלה הסקלרית הבאה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lang \vec{x} , \vec{y} \rang = x_1 \overline{y_1} + \cdots + x_n \overline{y_n} } היא מכפלה פנימית.
• המכפלה הסקלרית הסטנדרטית במרחב האוקלידי ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ שנתונה על ידי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b} | \cos \theta} (כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta} היא הזווית בין הווקטורים) היא מכפלה פנימית.
• עבור שתי מטריצות מאותו סדר A ו-B, הגודל ${\displaystyle \mathrm {tr} (AB^{t})}$ (כלומר העקבה של המכפלה של האחת בשחלוף של השנייה) הוא מכפלה פנימית.
• את המכפלה הסקלרית אפשר לתאר באמצעות כתיב מטריציוני: ${\displaystyle \langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle ={\vec {x}}^{T}I{\vec {y}}}$ . אם נחליף את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ I} (מטריצת היחידה) במטריצה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ A} חיובית לחלוטין נקבל גם כן מכפלה פנימית.
• במרחב כל הפונקציות האינטגרביליות בריבוע במובן לבג בתחום ${\displaystyle \,I}$, שמסומן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L^2(I)} , המכפלה הפנימית היא ${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{I}{f(x)\ {\overline {g(x)}}\ dx}}$. מכפלה זו הופכת את המרחב למרחב הילברט, לפי משפט ריז-פישר.
• בפיזיקה קוונטית, משתמשים בסימון דיראק (מכונה סימון "ברה-קט") לציון המכפלה הפנימית שפירושה הוא הטלת מצב קוונטי מסוים על מצב אחר. נהוג לקבוע שהיא הומוגנית דווקא ברכיב הימני ולא בשמאלי (בניגוד למוסכמה הנהוגה במתמטיקה): עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lang a \phi | b \psi \rang = a^* b \lang \phi | \psi \rang} . כאשר הכוכבית מסמנת צמוד מרוכב.

ראו גם

• נורמה

קישורים חיצוניים

• מכפלה פנימית במרחב וקטורי: הבסיס המודרני למושגים כמו אורך וזווית. פרופ' רון עדין, סרטון באתר יוטיוב

שגיאות פרמטריות בתבנית:קצרמר
פרמטרי חובה [ 1 ] חסרים