חבורה אלגברית

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

חבורה אלגברית $G$ היא אובייקט שהוא בו זמנית גם חבורה וגם יריעה אלגברית, כך שההעתקות

הכפל: $m:G\times G\to G$ , המוגדרת על ידי $(g,h)\mapsto gh$ ,
וההפכי: $i:G\to G$ , המוגדרת על ידי $g\mapsto g^{-1}$ ,

הן מורפיזמים (העתקות רגולריות) של יריעות אלגבריות.

יריעות אלגבריות מצוידות בטופולוגיית זריצקי, ההופכת כל חבורה אלגברית לחבורה טופולוגית.אולם טופולוגיה זו לא מבטאה את המיבנה הגאומטרי של החבורה. לעומת זאת אם על השדה $k$ מעליו מוגדרת החבורה נתונה טופולוגיה (למשל כאשר $k=\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ ) אז אנו מקבלים טופולוגיה עדינה יתר על החבורה $G$ (או ליתר דיוק על קבוצת ה $k$ -נקודות שלה $G(k)$ ). אם המציין של $k$ הוא 0, אז ניתן להראות ש G יריעה חלקה, ולכן, כאשר $k=\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ , על $G(k)$ יש מבנה של חבורות לי.

דוגמאות

כל חבורה סופית היא חבורה אלגברית עם הטופולוגיה הדיסקרטית.
עקומים אליפטיים: עקום במרחב הפרויקטיבי עליו מוגדרת פעולת חבורה.
החבורה החיבורית: $\mathbf {G} _{a}=(k,+)$ .
החבורה הכפלית: $\mathbf {G} _{m}=(k^{\times },\cdot )$ .
הדוגמאות השימושיות והחשובות ביותר - חבורות אלגבריות לינאריות: החבורה הלינארית הכללית $\mathbf {GL} (n,k)$ - חבורת המטריצות ההפיכות מסדר $n\times n$ מעל שדה k.
תת-החבורות האלגבריות שלה: $\mathbf {SL} (n,k)$ (מטריצות בעלות דטרמיננטה 1) $\mathbf {O} (n)$ (מטריצות אורתוגונליות), עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{SO}(n)} (מטריצות אורתוגונליות עם דטרמיננטה 1), עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{U}(n)} (מטריצות אוניטריות) ועוד.
טורוס: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle T=\mathbf {D} (n,k)\cong (k^{\times })\times ...\times (k^{\times })} חבורת המטריצות האלכסוניות ההפיכות מסדר n.

כל שיכון של חבורה אלגברית בחבורה $\mathbf {GL} (n,k)$ נקרא "הצגה לינארית" של החבורה. חבורה אלגברית שקיימת לה הצגה נאמנה כתת-חבורה סגורה של $\mathbf {GL} (n,k)$ נקראת חבורה אלגברית לינארית או "חבורה אלגברית אפינית".

הדרגה של חבורה אלגברית חוסמת את רמת המורכבות שלה. לפי משפט קלאסי של קמיל ז'ורדן, לכל n יש קבוע N כך שלכל תת-חבורה של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_n(\mathbb{C})} יש תת-חבורה נורמלית אבלית מאינדקס N לכל היותר.

דוגמה מפורטת

נראה דוגמה מפורטת של חבורה אלגברית: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G = \mathbf{GL}(2,\mathbb{C}) = \left\{ A \in \mathrm{M}_2(\mathbb{C}) \mid \det A \ne 0 \right\}} .

זו חבורה עם הפעולה של כפל מטריצות.
זו יריעה אלגברית, שניתן להציגה כיריעה הסגורה $\left\{(a,b,c,d,t)\mid (ad-bc)t=1\right\}$ כאשר אנו מזהים כל מטריצה כ-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right)} ואז $\det A=ad-bc$ ; קיומו של מספר t כך ש- $(\det A)t=(ad-bc)t=1$ שקול לכך ש- $\det A\neq 0$ . הפונקציות הרגולריות הבסיסיות על יריעה זו הן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_{ij}} המחזירות את הקואורדינטה בשורה ה-i ובעמודה ה-j במטריצה A, וכן הפונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\det A} = ( X_{11} X_{22} - X_{12} X_{21} )^{-1}} (למעשה זו הפונקציה שמחזירה את ה"קואורדינטה" t).
יהיו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right)} ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B= \left( \begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix} \right)} , אז למשל $X_{11}(A\cdot B)=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}=X_{11}(A)X_{11}(B)+X_{12}(A)X_{21}(B)$ ולכן כפל מטריצות הפיכות היא העתקה רגולרית.
$\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}\left({\begin{matrix}d&-b\\-c&a\end{matrix}}\right)$ וקל לראות שגם זו פונקציה רגולרית (השבר שכופל את המטריצה שווה לאחד חלקי הדטרמיננטה ולכן הוא פונקציה רגולרית!), ומכאן שגם פונקציית ההפכי רגולרית.

בסך בכל נובע ש-G היא חבורה שהיא גם יריעה אלגברית כך שפעולות הכפל וההפכי הן פונקציות רגולריות ולכן היא חבורה אלגברית.

קשרים בין חבורות

תת-חבורה אלגברית H של חבורה אלגברית G היא תת-חבורה מופשטת, שמהווה גם תת-יריעה של G והיא סגורה בטופולוגיית זריצקי. ניתן להגדיר גם את המנה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G/H} . אם H היא תת-חבורה אלגברית של G אז למרחב הקוסטים G/H קיים מבנה יחיד של יריעה קווזי-פרויקטיבית שעבורו הפעולה של G על G/H היא רגולרית (למעשה, ניתן לזהות את H, כמייצב של וקטור במרחב פרויקטיבי שעליו פועלת G). אם G היא אפינית ו H תת-חבורה נורמלית אז המנה G/H היא חבורת מנה אפינית - כלומר: חבורה אלגברית ויריעה אלגברית אפינית.

סוגים של חבורות

חבורה אלגברית G נקראת "אי-פריקה" אם כיריעה היא יריעה אי-פריקה בטופולוגיית זריצקי. עבור חבורה אלגברית ניתן להראות ש-G היא אי-פריקה אם ורק אם היא קשירה (בטופולוגיית זריצקי). לכן עבור חבורות אלגבריות בדרך כלל משתמשים במינוחים חבורות קשירות וחבורות אי-פריקות לחלופין. לעומת זאת, יש מתמטיקאים שמשתמשים במונח "אי-פריקות" ביחס לטופולוגיית זריצקי ואילו במונח "קשירות" ביחס לטופולוגיה המוגדרת על ידי הטופולוגיה על השדה $k$ (בעיקר במקרים $k=\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ ). ^[1]

חבורה נקראת אפינית, אם היא אפינית כיריעה אלגברית. ניותן להראות כי במקרה זה היא ניתנת לשיכון (כתת-חבורה) ב עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{GL}_N} (עבור איזה שהוא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} טבעי). לכן קראים לחבורות כאילו גם חבורות לינאריות.

חבורה אלגברית אפינית G היא בפרט יריעה אלגברית אפינית שהיא מרחב טופולוגי נתרי ולכן יש לה מספר סופי של מרכיבים אי-פריקים. הרכיב האי-פריק של G המכיל את איבר היחידה מסומן $G^{0}$ ונקרא identity component. הרכיב הקשיר של איבר היחידה $G^{0}$ הוא תת-חבורה נורמלית סגורה של G.

חבורה לינאריות G נקראת פתירה אם קיימת סדרה יורדת של תת-חבורות נורמליות ב-G כך שהמנות העוקבות הן חבורות קומוטטיביות (בדומה למושג המקביל בתורת החבורות).

הרדיקל (הפתיר) של חבורה לינארית היא הרכיב הקשיר של איבר היחידה של תת-החבורה הנורמלית הפתירה המקסימלית שלה. חבורה לינארית קשירה נקראת פשוטה-למחצה אם הרדיקל הפתיר שלה טריביאלי.

הרדיקל האוניפוטנטי של חבורה לינארית הוא תת-החבורה האוניפוטנטית הגדולה ביותר של הרדיקל הפתיר. חבורה לינארית שהרדיקל האוניפוטנטי שלה טריוויאלי נקראת חבורה רדוקטיבית. כל חבורה פשוטה-למחצה היא רדוקטיבית.

חבורה לינארית קשירה G נקראת פשוטה אם היא לא קומוטטיבית וגם אין לה תת-חבורות נורמליות קשירות סגורות לא טריוויאליות. היא נקראת כמעט פשוטה אם יש לה מרכז סופי Z והחבורה G/Z היא פשוטה.

ראו גם

סוגים של חבורות אלגבריות

חבורה אלגברית לינארית
- חבורה רדוקטיבית
  - טורוס (חבורה אלגברית)
    - החבורה הכפלית
  - חבורה אלגברית פשוטה למחצה
    - חבורה אלגברית פשוטה
- חבורה יוניפוטנטית
  - החבורה החיבורית
יריעה אבלית
- עקום אליפטי

מושגים קשורים

אובייקט חבורתי
- חבורה טופולוגית
- חבורת לי
- סכמת חבורה
- אלגברת הופף
אלגברת לי
תורת האינווריאנטים הגאומטרית

לקריאה נוספת

Chevalley, Claude (1958), Séminaire C. Chevalley, 1956--1958. Classification des groupes de Lie algébriques, Paris: Secrétariat Mathématique

חבורות לינאריות

Humphreys, James E. (1972), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics 21, Springer-Verlag, Berlin, New York, ISBN 978-0-387-90108-4
Milne, J. S., Affine Group Schemes; Lie Algebras; Lie Groups; Reductive Groups; Arithmetic Subgroups
Springer, Tonny A. (1998), Linear algebraic groups, Progress in Mathematics 9 (מהדורה שנייה), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4021-7
Waterhouse, William C. (1979), Introduction to affine group schemes, Graduate Texts in Mathematics 66, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90421-4

יריעות אבליות

Mumford, David (1970), Abelian varieties, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-560528-0
Lang, Serge (1983), Abelian varieties, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90875-5
Weil, André (1971), Courbes algébriques et variétés abéliennes, Hermann, Paris

קישורים חיצוניים

הגדרות ומונחים בחבורות אלגבריות

הערות שוליים

↑ אם $k=\mathbb {C}$ אז שני מושגי הקשירות שקולים, אולם המצב שונה במקרה ש $k=\mathbb {R}$ למשל החבורה האלגברית $\mathbf {GL} _{2}$ קשירה אולם חבורת הנקודות הממשיות שלה $\mathbf {GL} _{2}(\mathbb {R} )$ איננה קשירה.

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] אם $k=\mathbb {C}$ אז שני מושגי הקשירות שקולים, אולם המצב שונה במקרה ש $k=\mathbb {R}$ למשל החבורה האלגברית $\mathbf {GL} _{2}$ קשירה אולם חבורת הנקודות הממשיות שלה $\mathbf {GL} _{2}(\mathbb {R} )$ איננה קשירה.