חוג מקומי למחצה

בתורת החוגים, חוג מקומי למחצה הוא חוג R כך שהמנה $\ R/J(R)$ היא חוג פשוט למחצה ארטיני, כאשר $\ J(R)$ הוא רדיקל ג'ייקובסון. החוגים המקומיים-למחצה הקומוטטיביים הם אלו שיש להם מספר סופי של אידאלים מקסימליים.

ההגדרה

חוג R הוא מקומי למחצה אם $\ R/J(R)$ ארטיני. מכיוון ש- $\ R/J(R)$ ממילא פרימיטיבי למחצה, נובע מיד שהמנה פשוטה למחצה, כלומר (לפי משפט ודרברן-ארטין) סכום ישר של חוגי מטריצות מעל חוגים עם חילוק.

דוגמאות

המקרה הקומוטטיבי

בכל חוג קומוטטיבי נתרי R, אוסף האברים שהם מחלקי אפס מוכל באיחוד סופי של אידאלים ראשוניים. משום כך, חוג השברים הקלאסי של R, המתקבל בתהליך של מיקום על ידי היפוך כל האברים הרגולריים (היינו שאינם מחלקי אפס) הוא מקומי למחצה.

חוג דדקינד מקומי למחצה הוא ראשי. במלים אחרות, לכל חוג דדקינד שאינו תחום ראשי יש אינסוף אידאלים מקסימליים.

המקרה הכללי

חוג R הוא מקומי למחצה אם ורק אם יש פונקציה $\ d:R\rightarrow \{0,1,\dots ,n\}$ , כך ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ d(a)+d(1-ab)=d(a-aba)} לכל a,b, ו-a הפיך אם ורק אם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ d(a)=0} .

יש דרכים רבות לקבל חוגים מקומיים למחצה. חוג מקומי הוא מקומי למחצה. מכפלה סופית של חוגים מקומיים היא מקומית למחצה. חוג מטריצות מעל חוג מקומי הוא מקומי למחצה. כל חוג שהוא מודול סופי מעל תת-חוג קומוטטיבי שהוא מקומי למחצה, גם הוא מקומי למחצה. אם 'R הוא חוג ארטיני שמאלי, ו-R הוא תת-חוג כך שמודול המנה R'/R ארטיני מעל R, אז R מקומי למחצה.

אם חוג הוא "קלאסי" (כל איבר שאינו מחלק אפס הוא הפיך), ומקיים את תנאי השרשרת העולה על מאפסים ימניים ועל מאפסים שמאליים, אז הוא מקומי למחצה.

אם יש לחוג מספר סופי של אידאלים מקסימליים, אז הוא מקומי למחצה (ההיפך נכון במקרה הקומוטטיבי, אבל לא במקרה הכללי).

כל חוג אנדומורפיזמים של מודול ארטיני הוא מקומי למחצה. כך גם חוג האנדומורפיזמים של מודול יוניסריאלי (כזה שתת-המודולים שלו מהווים שרשרת).

הטווח היציב

כל חוג מקומי למחצה R הוא בעל טווח יציב 1, כלומר, אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Ra+Rb} מכיל איבר הפיך, אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a+Rb} מכיל איבר כזה.

מחלקות של חוגים מקומיים למחצה

כל חוג אנדומורפיזמים של מודול בעל אורך סופי הוא פרימרי למחצה, היינו מקומי למחצה, עם רדיקל ג'ייקובסון נילפוטנטי.

כיסוי פרויקטיבי של מודול M הוא מודול פרויקטיבי P עם הטלה $\ P\rightarrow M$ שהגרעין שלה הוא תת-מודול קטן. לא לכל מודול יש כיסוי פרויקטיבי, אבל אם הוא קיים, הוא יחיד.

חוגים מושלמים

התכונות הבאות שקולות עבור חוג R. חוג המקיים אותן נקרא חוג מושלם (שמאלי).

לכל מודול שמאלי מעל R יש כיסוי פרויקטיבי.
כל מודול שטוח הוא פרויקטיבי.
החוג מקומי למחצה, ולכל סדרה של אברים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ a_{1},a_{2},\dots \in J(R)} , קיים n כך- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_1\cdots a_n = 0} .
החוג מקומי למחצה, ולכל מודול שמאלי שונה מאפס יש תת-מודול מקסימלי.
החוג מקיים את תנאי השרשרת היורדת על אידאלים ימניים ראשיים.

חוג מושלם שמאלי אינו בהכרח מושלם ימני. תחום שלמות מושלם הוא שדה.

חוגים מושלמים למחצה

אם יש כיסוי פרויקטיבי לכל מודול שמאלי נוצר סופית מעל R, החוג מושלם למחצה. תנאי זה סימטרי להחלפת שמאל וימין.

חוג הוא מושלם למחצה אם ורק אם הוא מקומי למחצה, ואפשר להרים אידמפוטנטים מ- $\ R/J(R)$ ל-R. הרמת האידמפוטנטים מקנה לחוגים כאלה מבנה מובהק של חוגי מטריצות. אכן, אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e_1,\dots,e_n} היא מערכת אורתוגונלית של אידמפוטנטים כך ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e_i (R /J(R) ) e_i} הם המרכיבים הפשוטים של המנה, אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R = \sum R_{ij}} כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{ij} = e_i R e_j} ; עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R_{ii}} הם תת-חוגים ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{ij} = e_i R e_j} בי-מודולים. משפט קרול-רמק-שמידט קובע שאם M מודול מעל חוג R ו- $\ \operatorname {End} (M)$ מושלם למחצה, אז M מתפרק לסכום ישר סופי של מודולים אי-פריקים, ופירוק זה יחיד עד כדי סדר ואיזומורפיזם של הגורמים.

בין החוגים הקומוטטיביים, חוג מושלם למחצה אינו אלא מכפלה ישרה סופית של חוגים מקומיים.

ראו גם

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.