חוג שבת (אלגברה)

בתורת החוגים, חוּג הַשֶּבֶת של חוג תחת פעולת חבורה, הנו אוסף האיברים הנשמרים תחת הפעולה. החוג נקרא לעיתים גם חוג האינווריאנטים או חוג האיברים הסימטריים (תחת פעולת החבורה).

מבנה זה בא לידי שימוש במיוחד במשפט היסודי של תורת גלואה, ונותן אפיון נוסף לחבורת גלואה. שימוש נוסף של ההגדרה הנו בתורת האינווריאנטים, במחקר פעולה של חבורות על יריעות אלגבריות.

הגדרה ותכונות

בהינתן חוג עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} וחבורה $G$ הפועלת על החוג, חוג השבת של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} תחת פעולת $G$ , המסומן $R^{G}$ , הנו אוסף האיברים הנשמרים על ידי הפעולה, כלומר:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^G = \{r \in R : \forall g \in G: g\cdot r = r \}}

כפי שנרמז בשם, אוסף איברים זה הנו אכן תת-חוג של החוג המקורי. תכונות רבות שהחוג מקיים יועברו גם לחוג שבת שלו: למשל, אם המבנה המקורי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הנו שדה, גם חוג השבת שלו, הנקרא שדה השבת, הוא שדה.

הבעיה הארבע-עשרה של הילברט עוסקת בנוצרותו הסופית של חוג השבת במקרים מסוימים.

יישומים

בתורת גלואה

ערך מורחב – המשפט היסודי של תורת גלואה

להגדרה לעיל חשיבות מיוחדת בתורת גלואה: בהינתן הרחבת שדות עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E/F} , משפט של אמיל ארטין קובע כי אם קיימת חבורה כלשהי $G$ הפועלת על E, כך ש- $E^{G}=F$ אז בהכרח עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G\cong\operatorname{Gal}(E/F)} וההרחבה הנה הרחבת גלואה. לעיתים הרחבת גלואה אף מוגדרת על פי תנאי זה.

בתורת האינווריאנטים

יישום נוסף של ההגדרה הנו בתורת האינווריאנטים, החוקרת פעולות של חבורות על יריעות אלגבריות. הדוגמה הבסיסית ביותר הנה חוג השבת של חוג הפולינומים $R[x_{1},...,x_{n}]$ תחת החבורה הסימטרית עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_n} , אשר שווה לחוג הפולינומים הסימטריים. בתחום זה חוקרים את חוג השבת תחת פעולות של חבורות על יריעות אלגבריות, ומנסים להבין את המבנה והתכונות שלו.

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.