חוג של קבוצות

בתורת הקבוצות, חוג של קבוצות (Ring of sets) הוא אוסף לא ריק של תת קבוצות הסגור לחיתוך, והפרש קבוצות בו הוא איחוד זר סופי של אברים ממנו. חוג קבוצות למחצה הוא אוסף לא ריק של תת-קבוצות הסגור לאיחוד והפרש.

לחוגי קבוצות ולחוגים למחצה של קבוצות שימושים בתורת המידה; מוגדרות עליהן מידות חוגיות, אותן אפשר להרחיב למידות על סיגמא-אלגברה, לפי משפט ההרחבה של קרתאודורי.

הגדרה

תהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} קבוצה נתונה.

משפחת תת קבוצות ${\displaystyle S}$ של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} תקרא חוג למחצה (Semiring) אם מתקיים:

• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi \in S} (מכילה את הקבוצה הריקה)
• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall A,B \in S: A \cap B} (סגורה לחיתוך)
• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall A,B \in S \exists A_1,...,A_n \in S \quad distinct : A-B=A_1 \cup ... \cup A_n} (כל הפרש הוא איחוד סופי זר של איברים מ-${\displaystyle S}$)

משפחת תת קבוצות ${\displaystyle R}$ של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} תקרא חוג (Ring) אם מתקיים:

• ${\displaystyle \phi \in R}$ (מכילה את הקבוצה הריקה)
• ${\displaystyle \forall A,B\in S:A\cup B\in R}$ (סגורה לאיחוד)
• עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall A,B \in S: A-B \in R} (סגירות להפרש)

ראו גם

• אלגברה של קבוצות
• סיגמא-אלגברה