מודול מוצלב

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, מודול מוצלב (באנגלית: crossed module) הוא מבנה מתמטי המורכב מ-2 חבורות G ו-H, כאשר G פועלת על H (ניתן לדון במקרה של פעולה שמאלית ${\displaystyle (g,h)\mapsto ^{g}\!h=g\cdot h}$ או פעולה ימנית ${\displaystyle (h,g)\mapsto h^{g}=h\cdot g}$), ויש הומומורפיזם של חבורות

${\displaystyle d\colon H\longrightarrow G,\!}$

שמכבד את פעולת ההצמדה של G על עצמה

${\displaystyle d(^{g}h)=gd(h)g^{-1}\!}$

ומקיים את זהות פייפר (Peiffer):

${\displaystyle ^{d(h_{1})}{h_{2}}=h_{1}h_{2}h_{1}^{-1}\!}$.

כאשר מגדירים מודול מוצלב עם פעולה ימנית ${\displaystyle h^{g}=h\bullet g}$, רושמים במקום:

${\displaystyle d(h^{g})=g^{-1}d(h)g}$

וזהות פייפר היא

${\displaystyle h_{2}^{d(h_{1})}=h_{1}^{-1}h_{2}h_{1}}$.

דוגמאות

• המודול המוצלב הטריוויאלי ${\displaystyle \mathrm {id} :G\to G}$ הוא מודול מוצלב ימני עם הפעולה ${\displaystyle h^{g}=g^{-1}hg}$ ושמאלי עם ${\displaystyle ^{g}h=ghg^{-1}}$.
• תהי ${\displaystyle H<G}$ תת-חבורה נורמלית ו-${\displaystyle d:H\hookrightarrow G}$ הומומורפיזם השיכון. זהו מודול מוצלב (ימני) עם הפעולה ${\displaystyle h^{g}=g^{-1}hg}$. הנורמליות מבטיחה ש-${\displaystyle h^{g}=g^{-1}hg\in H}$ ולכן הפעולה מוגדרת היטב.
• ${\displaystyle d:H\twoheadrightarrow G}$ כאשר d על והגרעין של d מרכזי, כלומר: ${\displaystyle \ker(d)\subseteq Z(H)}$.
• יהי ${\displaystyle d:G\to \mathrm {Aut} (G)}$ כאשר d שולח כל איבר ${\displaystyle g\in G}$ לאוטומורפיזם הפנימי ${\displaystyle x\mapsto g^{-1}xg}$ בחבורות האוטומורפיזמים ${\displaystyle \mathrm {Aut} (G)}$, והפעולה היא הפעולה הטבעית של האוטומורפיזם: ${\displaystyle h^{g}=[\![x\mapsto g^{-1}xg]\!](h)=g^{-1}hg}$ (פעולה ימנית). אזי ${\displaystyle d:G\to \mathrm {Aut} (G)}$ הוא מודול מוצלב (ימני).

שימושים

למודולים מוצלבים יש שימושים בחישוב קוהומולוגיות באלגברה הומולוגית ובפרט עם גישת חבורות-2 וגרופואידים. כמו כן, למושג זה קשר חזק לטופולוגיה אלגברית וחבורות הומוטופיה.

קישורים חיצוניים