מומנט כבידתי

מומנטים כבידתיים (אנגלית: Gravitational moment) הם סדרה של קבועים חסרי ממדים המתארים את התפלגות המסה בגרם שמיים, כגון כוכב לכת, כוכב או ירח. קבועים אלו ניתנים למדידה אמפירית ולחישוב לפי הנוסחה^[1]:

${\displaystyle J_{n}={\frac {1}{MR^{n}}}\int _{0}^{R}\int _{-1}^{1}r^{n}P_{n}(\mu )\rho (r,\mu )2\pi r^{2}d\mu dr}$

כאשר:

• M היא מסת הגרם
• R היא רדיוס הגרם
• ${\displaystyle P_{n}}$ הם פולינומי לג'נדר
• ${\displaystyle \mu \equiv \cos \theta }$ ו${\displaystyle \theta }$ נתונה בקואורדינטות גליליות.

למומטים אלו ישנה חשיבות גובהה במדעים פלנטריים, מכיוון שהם משקפים היטב את המבנה הפנימי של כוכב הלכת. ניתן להתייחס למסת הגרם כ${\displaystyle J_{0}}$^[2].

הגופים הנחקרים הם בקירוב טוב גופי סיבוב ולכן מניחים סימטריה גלילית. בנוסף, מניחים לרוב סימטריה בין המיספירה (Hemisphere, חצי כדור) העליונה לתחתונה, דבר המאפס את כל המומנטים האי-זוגיים:

${\displaystyle J_{3}=J_{5}=J_{7}=...=0}$

הנחה זו לאו דווקא נכונה ובמציאות נמדד ${\displaystyle J_{3}}$ עבור צדק, איך גודלו המדוד קטן במספר סדרי גודל משגיאת המדידה^[3] ולכן הוא מוזנח לרוב בחישובים. לרוב הגודל המשמעותי באמת לצורכי אפיון הגרם הוא ${\displaystyle J_{2}}$ הניתן לחישוב קל יחסית לפי הנוסחה:

${\displaystyle J_{2}={\frac {R_{pole}-R_{eq}}{MR^{2}}}}$

כאשר ${\displaystyle R_{eq}}$ הוא רדיוס בקו המשווה ו ${\displaystyle R_{pole}}$ הוא רדיוס בקוטב. שני רדיוסים אלו שונים עקב פחיסות של הגרם, כמפורט בהמשך. ל${\displaystyle J_{2}}$ קוראים לעיתים "פקטור צורה דינמי"( "dynamic form factor")^[4].

מומנטים אלו נמדדו על ידי גשושיות שנשלחו לחקור את ענקי הגזים במערכת השמש^[3].

הקשר לסיבוב עצמי

במקרה של סימטריה כדורית, למומנטים כביתיים אין משמעות והפוטנציאל הכבידתי נתון על ידי ${\displaystyle V(r)=-{\frac {GM}{r}}}$. כאשר M היא מסת הגרם, G הוא קבוע הכבידה וr הוא המרחק ממרכז הגרם. זה קירוב מקובל לרוב לעבור כוכבים, כאשר מזניחים את הסיבוב עצמי של כוכב. עבור ירחים וכוכבי לכת, קירוב זה אינו משקף היטב את הפיזיקה מכיוון שהסיבוב העצמי שלהם יכול להיות מספיק מהיר בשביל לגרום לפחיסות בצורתם. במקרה כזה הפוטנציאל הכבידתי נתון על ידי^[5]:

${\displaystyle V(r,\theta )=-{\frac {GM}{r}}\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {R_{eq}}{r}}\right)^{n}J_{n}P_{n}(\cos \theta )\right]}$

כאשר כל הסימונים תוארו בפסקה הקודמת.

ראו גם

• מומנט התמד פולרי מנורמל

הערות שוליים