מטריצת בלוקים אלכסונית

מטריצת בלוקים אלכסונית היא מטריצה אשר על האלכסון שלה מוצבים "בלוקים" שהם גם מטריצות (מסדר נמוך יותר), וכל שאר ערכי המטריצה הם אפסים. דוגמה לכך היא צורת ז'ורדן או הצורה הרציונלית קנונית.

דוגמה

להלן דוגמה של מטריצה 4 על 4, שבנויה משני בלוקים 2 על 2 באלכסון:

סכום ישר

דרך נוספת לכתוב מטריצת בלוקים אלכסונית היא באמצעות סכום ישר של מטריצות ריבועיות: ${\displaystyle A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{k}}$. פירוש הסימון הוא שמציבים את המטריצות ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ באלכסון של מטריצה אלכסונית בלוקים (לפי הסדר). כך למשל, בדוגמה לעיל ניתן לכתוב בקיצור ${\displaystyle A\oplus B}$.

פעולות

חלק מן הפעולות הטבעיות על מטריצות ניתן לבצע בכל בלוק בנפרד.

• עקבה (מאנגלית – Trace): ${\displaystyle {\text{tr}}(A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{k})={\text{tr}}(A_{1})+\cdots +{\text{tr}}(A_{k})}$.
• דטרמיננטה: ${\displaystyle \det(A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{k})=\det(A_{1})\cdots \det(A_{k})}$.
• מטריצה הופכית: ${\displaystyle (A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{k})^{-1}=A_{1}^{-1}\oplus \cdots \oplus A_{k}^{-1}}$.

נוסחאות אלו עוזרות בחישובים מסוימים, כמו חישוב הפולינום האופייני של מטריצה – מכפלת הפולינום האופייניים של המטריצות באלכסון; והפולינום המינימלי – הכפולה המשותפת המינימלית של הפולינומים המינימליים בבלוקים.

ראו גם

• מטריצת בלוקים