ממד (גאומטריה אלגברית)

מימד קרול

קובץ:Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מימד קרול

מימד קרול של מרחב טופולוגי ${\displaystyle X}$ הוא אורך השרשרת הארוכה ביותר של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות המוכלות ב-${\displaystyle X}$ פחות אחת:עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{dim}_{Kr}\left(X\right) :=max_{n\in\mathbb{N}}\left\{ Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{n}\subset X|Z_{i}\neq\emptyset\,\,\text{irreducible}\right\} } .

הגדרה זו מתאימה גם לגאומטריה אלגברית מאחר שכל יריעה אלגברית היא בפרט מרחב טופולוגי. נוכיח כי פונקציית מימד קרול עונה על שלוש התכונות הנדרשות למימד של יריעה אלגברית:

1. נניח ${\displaystyle X}$ יריעה אלגברית כך ש - ${\displaystyle X=\cup _{i=1}^{n}X_{i}}$ כיסוי פתוח של יריעות אפיניות ונניח כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \text{dim}_{Kr}\left(X\right)=n } , כלומר קיימת שרשרת מאורך מקסימלי של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקותעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{n}\subset X } . מאחר ש- ${\displaystyle X=\cup _{i=1}^{n}X_{i}}$ קיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1\leq i \leq n} כך ש -עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_{i}\cap Z_{n}\neq\emptyset} אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z_{0}\cap X_{i}\subsetneq Z_{1}\cap X_{i}\subsetneq...\subsetneq Z_{n}\cap X_{i}\subset X_{i}} היא שרשרת של קבוצות סגורות לא ריקות ואי פריקות ב - עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_{i}} , אז מתקיים ${\displaystyle \dim _{Kr}\left(X_{i}\right)\geq \dim _{Kr}\left(X\right)}$. מאחר לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_{1\leq i\leq n}} וכל שרשרת עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_{0}\subsetneq U_{1}.....\subsetneq U_{n}\subset X_{i}} של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב - עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_{i}} ניתן להרים לשרשרת כנ"ל ב ${\displaystyle X}$ - ${\displaystyle {\overline {U_{0}}}\subsetneq {\overline {U_{1}}}.....\subsetneq {\overline {U_{n}}}\subset X}$, נובע כי ${\displaystyle \dim _{Kr}X\geq max\left\{\dim _{Kr}\left(X_{i}\right)\right\}_{i=1}^{n}}$. ביחד עם אי השוויון הקודם נקבל ${\displaystyle \dim _{Kr}X=max\left\{\dim _{Kr}\left(X_{i}\right)\right\}_{i=1}^{n}}$.
2. נסמן ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}=\left\{\left(x_{1},...,x_{n}\right)\right\}}$ ונגדיר ${\displaystyle Z_{i}:=\{x\in \mathbb {A} ^{n}|x_{i+1}=....=x_{n}=0\}}$, מאחר שלכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} מתקיים ${\displaystyle Z_{i}\cong \mathbb {A} ^{i}}$ אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{n}=\mathbb{A}^{n}} היא שרשרת עולה ממש של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות, לכן, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dim_{Kr}\left(\mathbb{A}^{n}\right)\geq n} . כעת נניח כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{p}\subset\mathbb{A}^{n}} היא שרשרת עולה ממש של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות. מאחר ש-${\displaystyle Z_{p-1}}$ מוכלת ממש ב - עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{A}^n} וסגורה קיימת פונקציה רגולרית ${\displaystyle g\in \mathbb {K} \left[x_{1},...x_{n}\right]}$ כך ש עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z_{p-1}\subset \mathcal{V}\left(g\right)} , מוכלת בקבוצת האפסים של הפונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} המסומנת על ידי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{V}\left(g\right)} . ממסקנה ממשפט הנורמליזציה של נתר נובע כי ניתן למצוא מורפיזם על וסופי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu:Z_{p-1}\twoheadrightarrow\mathbb{A}^{n-1}} , מ-3 נקבל כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dim_{Kr}Z_{p-1}=n-1} ומכאן ${\displaystyle \dim _{Kr}\left(\mathbb {A} ^{n}\right)=n}$.
3. נניח ${\displaystyle \nu :X\twoheadrightarrow Y}$ הוא מורפיזם סופי ועל בין יריעות אלגבריות. נניח כי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{p}\subset X} . היא שרשרת עולה של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב-${\displaystyle X}$, נסמן ${\displaystyle W_{i}=\nu \left(Z_{i}\right)}$ אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W_{0}\subset W_{1}.....\subset W_{p}\subset Y} היא שרשרת של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות בעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} , מאחר ש-${\displaystyle \nu }$ הוא מורפיזם סופי ניתן להוכיח כי זוהי שרשרת עולה ${\displaystyle W_{0}\subsetneq W_{1}.....\subsetneq W_{p}\subset Y}$ לכן עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dim_{Kr}\left(X\right)\geq\dim_{Kr}\left(Y\right)} . לחלופין, תהא ${\displaystyle W_{0}\subsetneq W_{1}.....\subsetneq W_{p}\subset Y}$ שרשרת כנ"ל נרצה למצוא שרשרת מתאימה ב-${\displaystyle X}$. נפרק לרכיבי אי פריקות את תת-היריעה ${\displaystyle \nu ^{-1}\left(W_{p}\right)=K_{1}\cup ....\cup K_{i}}$ נשים לב שמאחר ${\displaystyle \nu }$ על מתקיים ${\displaystyle W_{p}=\nu \left(K_{1}\right)\cup ....\cup \nu \left(K_{i}\right)}$ ומאחר ו-${\displaystyle W_{p}}$ אי פריקה קיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j} כך ש ${\displaystyle W_{p}=\nu \left(K_{j}\right)}$. נסמן ${\displaystyle Z_{p}:=K_{j}}$ אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu:Z_{p}\rightarrow K_{j}} הוא מורפיזם על וסופי בין תת-יריעות בלתי פריקות, על ידי אינדוקציה על ${\displaystyle p}$ ניתן להשלים את ${\displaystyle Z_{p}}$ לשרשרת עולה ${\displaystyle Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{p-1}\subsetneq Z_{p}\subset X}$ של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב-${\displaystyle X}$, ונקבל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dim_{Kr}\left(X\right)\leq\dim_{Kr}\left(Y\right)} . ביחד עם אי השוויון הקודם נקבל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dim_{Kr}\left(X\right)=\dim_{Kr}\left(Y\right)} .

דרגת טרנסצנדנטיות

קובץ:Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – דרגת הטרנסצנדנטיות

יהיו ${\displaystyle \mathbb {K} ,\mathbb {L} }$ שדות כך ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{L}} הוא הרחבת שדה של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{K}} . העוצמה המקסימלית של תת-קבוצה בלתי תלויה אלגברית ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{L}} מעל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{K}} נקראת דרגת הטרנסצנדנטיות של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{L}} מעל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{K}} ומסומנת על ידי ${\displaystyle trans.deg\,_{\mathbb {K} }\left(\mathbb {L} \right)}$.

תהי ${\displaystyle X}$ יריעה אלגברית ו-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{ X_{i}\right\} _{i=1}^{m}} רכיבי האי פריקות שלה, כלומר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X=\cup_{i=1}^{n}X_{i}} . נגדיר ${\displaystyle \dim \,_{tr}\left(X\right)=max\left\{trans.deg\,_{\mathbb {K} }\left(\mathbb {K} \left(X_{i}\right)\right)\right\}_{i=1}^{m}}$ כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{K}\left(X_{i}\right)} הוא שדה הפונקציות של היריעה האי פריקה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_{i}} . ניתן להוכיח שפונקציית המימד המוגדרת באמצעות דרגת הטרנסצנדנטיות של שדות הפונקציות של תתי היריעות הבלתי פריקות מקיימת את שלוש התכונות הנדרשות למימד של יריעה אלגברית.

מימד הילברט

קובץ:Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – ממד הילברט, ממד גלפנד-קירילוב

תכונות כלליות

1. תהי ${\displaystyle X}$ יריעה אלגברית ותהי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U\subset X} קבוצה פתוחה וצפופה ב${\displaystyle X}$, אז ${\displaystyle \dim \left(U\right)=\dim \left(X\right)}$.
2. יהי ${\displaystyle \nu :X\rightarrow Y}$ מורפיזם דומיננטי בין יריעות אלגבריות, אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dim\left(X\right)\geq\dim\left(Y\right)} .

משפט האידיאל הראשי

קובץ:Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – משפט האידיאל הראשי

משפט האידיאל הראשי קובע כי עבור יריעה אלגברית אי פריקה ${\displaystyle X}$ - לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} פונקציה רגולרית על ${\displaystyle X}$: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\neq f\in \mathcal{O}\left(X\right)} בלתי הפיכה הקבוצה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{ x\in X|f\left(x\right)=0\right\}} היא יריעה שוות מימד, ממימד עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dim X-1} . בפרט, עבור ${\displaystyle g\in \mathbb {K} \left[x_{1},...x_{n}\right]}$ פולינום לא קבוע ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n } משתנים, מימד היריעה המוגדרת על ידי קבוצת האפסים של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} הוא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dim \mathcal{V}\left(g\right)=n-1} .

משפט שבאלה

קובץ:Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – משפט שבאלה

יהי ${\displaystyle \nu :X\rightarrow Y}$ מורפיזם בין יריעות אלגבריות, אז -

1. הפונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dim\left(\nu^{-1}\left(y\right)\right)} מקיימת כי הקבוצה ${\displaystyle \left\{y\in Y|\dim \left(\nu ^{-1}\left(y\right)\right)\geq n\right\}}$ פתוחה לכל ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ טבעי.
2. אם בנוסף ${\displaystyle X}$ אי פריק אז לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dim\left(\nu^{-1}\left(y\right)\right)\geq\dim\left(X\right)-\dim\overline{\nu\left(X\right)} } .

מסקנה ממשפט שבאלה - יהי ${\displaystyle \nu :X\rightarrow Y}$ מורפיזם דומיננטי בין יריעות אלגבריות כך שמימד הסיבים קבוע, כלומר קיים ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ כך שלכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y\in Y} מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dim\left(\nu^{-1}\left(y\right)\right)=n} אז עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dim\left(X\right)=n+\dim\left(Y\right)} .