שורש ממוצע הריבועים

שורש ממוצע הריבועים, או ממוצע RMS (באנגלית: Root mean square), הוא מספר המשמש לתיאור ממוצע הגודל של פונקציה או של סדרת ערכים. זהו שם אחר לנורמת L2, כמו גם לשונות של משתנה מקרי בעל תוחלת אפס.

הגדרה

שורש ממוצע הריבועים של סדרת הערכים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{x_1,x_2,\dots,x_n\}} הוא שורש הממוצע החשבוני של ריבועי הערכים: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{\mathrm{rms}} = \sqrt {{{x_1}^2 + {x_2}^2 + \cdots + {x_n}^2} \over n} }

ממוצע RMS של פונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \! f(t)} בקטע עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_1 \le t \le T_2} הוא: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{\mathrm{rms}} = \sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} {[f(t)]}^2\, dt}} }

ממוצע RMS של הפונקציה על פני כל התחום עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle - \infty \le t \le \infty} הוא: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_\mathrm{rms} = \lim_{T\rightarrow \infty} \sqrt {{1 \over {2T}} {\int_{-T}^{T} {[f(t)]}^2\, dt}}} . אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \! f(t)} היא פונקציה מחזורית, גודל זה שווה לממוצע ה-RMS על פני מחזור אחד.

דוגמאות

צורת הגל	משוואה	ממוצע RMS
גל סינוסי	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=a\sin(2\pi ft)\,}	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{a}{\sqrt{2}}}
גל מרובע	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\begin{cases}a & (ft \mod 1) < 0.5 \\ -a & (ft \mod 1) > 0.5 \end{cases}}	$a\,$
שן מסור	$y=2a(ft\mod 1)-a\,$	עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \over \sqrt 3}

$\ t$ מסמן זמן, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f} - תדירות, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a} - המשרעת, עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{mod}} - פעולת המודולו.

שימושים

הספק חשמלי

בהנדסת חשמל, לעיתים קרובות יש צורך לדעת מהו ההספק החשמלי הנצרך על ידי נגד. ההספק P הנצרך על ידי נגד בעל התנגדות R כאשר זורם דרכו זרם קבוע I הוא: $P=I^{2}R\,\!$ .

אם בנגד זורם זרם חילופין (I(t, ההספק הרגעי הנצרך על ידו משתנה ובמקומו מחשבים את ההספק הממוצע: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_\mathrm{avg} = \langle I(t)^2R \rangle = R\langle I(t)^2 \rangle = (I_\mathrm{RMS})^2R\,\!} . כלומר הזרם ה-RMS הוא הזרם הקבוע שהיה גורם לאותה צריכת הספק ממוצעת על ידי הנגד.

את ההספק ניתן לרשום גם כתלות במתח החשמלי: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P = {V^2\over R}\,\!} , ובאותו האופן במתח חילופין ההספק הממוצע הוא: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_\mathrm{avg} = {(V_\mathrm{RMS})^2\over R}\,\!} . מתח החילופין הנפוץ ביותר הוא סינוסי: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V=V_0\sin(2\pi ft)\,} , ועבורו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_\mathrm{avg} = {V_0^2 \over 2R}\,\!} .

מאחר שמתח ה-RMS שימושי לחישוב הספקים, המתח המוצהר של זרם החילופין הביתי (220 וולט בשיטה האירופית ו-110 וולט בשיטה האמריקאית) הוא מתח ה-RMS ולא המשרעת.

מהירות

בפיזיקה, גודל מהירות החלקיקים בגז אידאלי קלאסי מתפלגת לפי התפלגות מקסוול-בולצמן וכל רכיב של המהירות בשלושת כיווני המרחב מתפלג באופן נורמלי. לכן, הממוצע החשבוני של וקטורי המהירות הוא וקטור האפס, ואת הממוצע החשבוני של גודל המהירות ניתן לחשב כתוחלת של התפלגות מקסוול-בולצמן על ידי אינטגרל גאוסיאני. לעומת זאת את ממוצע ה-RMS של המהירויות ניתן למצוא באופן פשוט יותר משיקולי אנרגיה ולקבל קשר בינו לבין טמפרטורת הגז.

האנרגיה הקינטית הממוצעת של מולקולה בגז אידאלי תלויה בממוצע ה-RMS של מהירות המולקולות: $E_{\mathrm {k} }={{1} \over {2}}mv_{\mathrm {rms} }^{2}={{3} \over {2}}nRT={\frac {3}{2}}NkT$ , ולכן המהירות ה-RMS היא: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_\mathrm{rms} = \sqrt {{2E_\mathrm{k}}\over{m}} = \sqrt {{3kT}\over{m}} = \sqrt {{3RT}\over{M_m}}} , כאשר m המסה של מולקולה, M המסה המולרית של הגז, R הוא קבוע הגזים, T הטמפרטורה במעלות קלווין, N מספר המולקולות ו-k קבוע בולצמן.

שוֹנוּת

בסטטיסטיקה, השונות של אוכלוסייה מוגדרת כהפרש בין ממוצע הריבועים (ריבוע ממוצע ה-RMS) לבין ריבוע הממוצע החשבוני: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sigma_{x}}^2 = {x_{\mathrm{rms}}}^2 - \bar{x}^2} , או באופן שקול: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {x_{\mathrm{rms}}}^2 = \bar{x}^2 + {\sigma_{x}}^2} . כלומר, ממוצע ה-RMS תמיד גדול או שווה לממוצע החשבוני, והוא שווה לשונות במקרה שהממוצע החשבוני הוא אפס.

קישורים חיצוניים

זרמי RMS של צורות גל נוספות
יישום Java הממחיש את המשמעות של מתח RMS

This article is issued from Hamichlol. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.