משפט ארצלה-אסקולי

כיוון ראשון

תהי ${\displaystyle A\subseteq C(K)}$ קבוצה חסומה ונניח שאברי ${\displaystyle A}$ רציפים במידה אחידה. נראה שלכל סדרה ב־${\displaystyle A}$ יש תת־סדרה מתכנסת. תהי ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ סדרת פונקציות ב־${\displaystyle A}$ . תהי ${\displaystyle \{x_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ סדרה צפופה ב־${\displaystyle K}$ (קיימת כזאת כי ${\displaystyle K}$ מרחב מטרי קומפקטי לכן ספרבילי).

נתבונן בסדרה ${\displaystyle {\bigl \{}f_{n}(x_{1}){\bigr \}}_{n=1}^{\infty }}$ . זוהי סדרה חסומה ב־${\displaystyle \mathbb {C} }$ בפרט יש לה תת־סדרה מתכנסת. נסמן אותה ב־${\displaystyle {\bigl \{}f_{n}^{1}(x_{1}){\bigr \}}_{n=1}^{\infty }}$ ואת גבולה ב־${\displaystyle \xi _{1}}$ . כעת נתבונן בסדרה ${\displaystyle {\bigl \{}f_{n}^{1}(x_{2}){\bigr \}}_{n=1}^{\infty }}$ . גם זו סדרה חסומה ב־${\displaystyle \mathbb {C} }$ לפיכך יש לה תת־סדרה מתכנסת שאותה נסמן ב־${\displaystyle {\bigl \{}f_{n}^{2}(x_{2}){\bigr \}}_{n=1}^{\infty }}$ ואת גבולה ב־${\displaystyle \xi _{2}}$ . וכך בתהליך איטרטיבי לכל ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ נגדיר את הסדרה ${\displaystyle {\bigl \{}f_{n}^{m}(x_{m}){\bigr \}}_{n=1}^{\infty }}$ להיות תת־סדרה מתכנסת של ${\displaystyle \left\{f_{n}^{m-1}(x_{m})\right\}_{n=1}^{\infty }}$ ואת גבולה נסמן ב־${\displaystyle \xi _{m}}$ .

אם כן, קיבלנו סדרה של סדרות פונקציות. נתבונן בסדרת האלכסון ${\displaystyle \{g_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ המוגדרת לכל ${\displaystyle n}$ כך ${\displaystyle g_{n}:=f_{n}^{n}}$ (כלומר זו סדרת פונקציות שהאבר ה־${\displaystyle n}$־י שלה הוא האבר ה־${\displaystyle n}$־י בסדרה ה־${\displaystyle n}$־ית).

1. זוהי תת־סדרה של ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ .
2. לכל ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ הסדרה ${\displaystyle {\bigl \{}g_{n}(x_{k}){\bigr \}}_{n=1}^{\infty }}$ מתכנסת ל־${\displaystyle \xi _{k}}$ שכן הזנב שלה ${\displaystyle {\bigl \{}g_{n}(x_{k}){\bigr \}}_{n=k}^{\infty }}$ הוא תת־סדרה של ${\displaystyle \left\{f_{n}^{k}(x_{k})\right\}_{n=1}^{\infty }}$ .

יהי ${\displaystyle \varepsilon >0}$ . אברי ${\displaystyle A}$ רציפים במידה אחידה לכן קיים ${\displaystyle \delta >0}$ כך שלכל ${\displaystyle x,y\in K}$ ולכל ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ , אם ${\displaystyle d(x,y)<\delta }$ אזי ${\displaystyle d{\bigl (}g_{n}(x),g_{n}(y){\bigr )}<{\frac {\varepsilon }{3}}}$ (כאשר ${\displaystyle d}$ היא פונקציית המטריקה ב־${\displaystyle K}$). אבל ${\displaystyle K}$ קומפקטי, לפיכך נכסה אותו במספר סופי של כדורים פתוחים בקוטר ${\displaystyle \delta }$ שנסמנם ב־${\displaystyle O_{1},\ldots ,O_{l}}$ .

לכל ${\displaystyle 1\leq i\leq l}$ קיים ${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {N} }$ עבורו ${\displaystyle x_{k_{i}}\in O_{i}}$ (כי ${\displaystyle \{x_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ צפופה ב־${\displaystyle K}$). כמו כן הסדרה ${\displaystyle {\bigl \{}g_{n}(x_{k_{i}}){\bigr \}}_{n=1}^{\infty }}$ מתכנסת ל־${\displaystyle \xi _{k_{i}}}$ לכן לפי תנאי קושי קיים ${\displaystyle N_{i}}$ כך שלכל ${\displaystyle n,m>N_{i}}$ מתקיים ${\displaystyle d{\bigl (}g_{n}(x_{k_{i}}),g_{m}(x_{k_{i}}){\bigr )}<{\frac {\varepsilon }{3}}}$ . נסמן ${\displaystyle N:=\sup(N_{i})}$ . כעת, לכל ${\displaystyle n,m>N}$ ולכל ${\displaystyle x\in K}$ קיים ${\displaystyle 1\leq i\leq l}$ עבורו ${\displaystyle x\in O_{i}}$ ומתקיים

${\displaystyle {d{\bigl (}g_{n}(x),g_{m}(x){\bigr )}\leq d{\bigl (}g_{n}(x),g_{n}(x_{k_{i}}){\bigr )}+d{\bigl (}g_{n}(x_{k_{i}}),g_{m}(x_{k_{i}}){\bigr )}+d{\bigl (}g_{m}(x_{k_{i}}),g_{m}(x){\bigr )}<\varepsilon }}$

לכן לפי תנאי קושי הסדרה ${\displaystyle \{g_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ מתכנסת במידה שווה.