משפט הקירוב של ויירשטראס

משפט הקירוב של ויירשטראס הוא תוצאה יסודית בתורת הקירובים ובאנליזה פונקציונלית, הקובעת שכל פונקציה רציפה בקטע סגור וחסום ניתנת לקירוב במידה שווה על ידי פולינומים. במילים אחרות, המשפט קובע שתת־מרחב הפולינומים מהווה קבוצה צפופה במרחב הפונקציות הרציפות על קטע סגור וחסום.

משפט סטון-ויירשטראס מהווה הכללה חשובה של משפט זה.

המשפט

משפט הקירוב: לכל פונקציה רציפה מהצורה ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ עבור קטע ממשי ${\displaystyle [a,b]}$ סגור וחסום, קיימת סדרת פולינומים על הקטע המתכנסת אליה במידה שווה.

פרספקטיבה אחרת בה ניתן לגשת למשפט זה, היא התייחסות למרחב הפולינומים כתת־מרחב של מרחב הפונקציות הרציפות. באופן כללי, בהינתן קטע ממשי סגור וחסום ${\displaystyle [a,b]}$ כלשהו, מסמנים ב־עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle C([a,b])} את מרחב הפונקציות הרציפות ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ , המהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת "נורמת ${\displaystyle L}$־אינסוף": ${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|}$ . לא קשה לראות שסדרת פונקציות מתכנסת תחת נורמת ${\displaystyle L}$־אינסוף אם ורק אם היא מתכנסת במדה שווה. לפיכך הנוסח הבא שקול לחלוטין למשפט הקירוב בנוסח שהזכרנו:

נוסח שקול: מרחב הפולינומים על קטע ממשי ${\displaystyle [a,b]}$ צפוף במרחב עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle C([a,b])} תחת נורמת ${\displaystyle L}$־אינסוף.

מסקנה: המרחב עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle C([a,b])} הוא ספרבילי, כלומר יש בו קבוצה צפופה שהיא בת מניה.

הוכחה: קל לראות שמרחב הפולינומים במקדמים רציונליים הוא בן מניה, וכן גם קל לראות שמרחב הפולינומים במקדמים רציונליים צפוף במרחב הפולינומים במקדמים ממשיים. צפיפות היא תכונה טרנזיטיבית, ולכן מרחב הפולינומים במקדמים רציונליים צפוף במרחב עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle C([a,b])} .

הוכחה

קיימות הוכחות שונות למשפט זה. כאן לא נביא את הוכחתו המקורית של ויירשטראס, אלא הוכחה נפוצה של המתמטיקאי הרוסי סרגיי ברנשטיין שבה עושים שימוש בפולינומי ברנשטיין. פולינומים אלו הם תת-קבוצה של אוסף הפולינומים, ובמסגרת הוכחה זו נראה שאפילו תת-קבוצה מסוימת זו צפופה במרחב עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle C([a,b])} .

פולינומי בסיס של ברנשטיין הם פולינומים מהצורה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_k(x,n)=\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} } .^[1] קל לראות מהבינום של ניוטון שמתקיים השוויון:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{k=0}^np_k(x,n)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}=(x+(1-x))^n=1}

זהות עקרונית נוספת המתקיימת לפולינומים אלה, היא שלכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta>0} מתקיים אי־השוויון:^[2]

$${\displaystyle \sum _{\left|{\frac {k}{n}}-x\right|\geq \delta }p_{k}(x,n)\leq {\frac {1}{n\delta ^{2}}}}$$

.

ניגש להוכחת המשפט. נראה שבהינתן פונקציה רציפה ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$ ,^[3] לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ קיים פולינום עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} מתאים כך שמתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sup_{x\in[0,1]}|f(x)-g(x)|<\varepsilon} .

אם כך, בהינתן פונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} כנ"ל נגדיר לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} טבעי את הפולינום עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B_n(f(x))=\sum_{k=0}^nf\left(\tfrac{k}{n}\right)p_k(x,n)} . נראה שלכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ולכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} גדול מספיק מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sup_{x\in[0,1]}\bigl|f(x)-B_n(x)\bigr|<\varepsilon} .

יהי ${\displaystyle \varepsilon >0}$ . נזכור שהפונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} רציפה בקטע סגור וחסום ולכן היא חסומה בו על ידי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M\in\R} כלשהו. מאותה עובדה נובע גם כי היא רציפה במידה שווה בקטע, לכן לכל ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ובפרט עבור ${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{2}}}$ הנתון, קיים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta>0} כך שלכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1,x_2\in[a,b] } אם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x_1-x_2|<\delta} אז ${\displaystyle {\bigl |}f(x_{1})-f(x_{2}){\bigr |}<{\frac {\varepsilon }{2}}}$ . נחשב:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix}\bigl|B_n\bigl(f(x)\bigr)-f(x)\bigr|=\left|\sum\limits_{k=0}^nf\left(\tfrac{k}{n}\right)p_k(x,n)-f(x)\right|\\\\=\left|\sum\limits_{k=0}^nf\left(\tfrac{k}{n}\right)p_k(x,n)-f(x)\cdot\sum\limits_{k=0}^np_k(x,n)\right|\\\\=\left|\sum\limits_{k=0}^n\left[f\left(\tfrac{k}{n}\right)-f(x)\right]\cdot p_k(x,n)\right|\le\sum\limits_{k=0}^n\left|f\left(\tfrac{k}{n}\right)-f(x)\right|p_k(x,n)\\\\=\sum\limits_{\left|\frac{k}{n}-x\right|<\delta}\left|f\left(\frac{k}{n}\right)-f(x)\right|p_k(x,n)+\sum\limits_{\left|\frac{k}{n}-x\right|\ge\delta}\left|f\left(\tfrac{k}{n}\right)-f(x)\right|p_k(x,n)\\\\<\sum\limits_{\left|\frac{k}{n}-x\right|<\delta}\dfrac{\varepsilon}{2}\cdot p_k(x,n)+2M \cdot\dfrac{1}{n\delta^2}\\\\\le\dfrac{\varepsilon}{2}\cdot\sum\limits_{k=0}^np_k(x,n)+2M\cdot\dfrac{1}{n\delta^2}=\dfrac{\varepsilon}{2}+2M\cdot\dfrac{1}{n\delta^2}\end{matrix}}

נשים לב שהחסם שקיבלנו אינו תלוי במשתנה ${\displaystyle x}$ , ולכן מדובר בחסם במידה-שווה על ${\displaystyle [0,1]}$ , שמתקיים לכל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} טבעי. אם כך ברור שעבור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} גדול מספיק מתקיים:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bigl|B_N\bigl(f(x)\bigr)-f(x)\bigr|<\frac{\varepsilon}{2}+2M\cdot\frac{1}{N\delta^2}<\varepsilon}

הערות שוליים